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Secants and paratangents in topological dependence spaces. (Sekanten und Paratangenten in topologischen Abhängigkeitsräumen.) (German) JFM 66.0968.01
Es wird der Satz, daß die \(k\)-dimensionalen Sekanten \(\vartheta\) eines Kontinuums \(K\) eines euklidischen Raumes eine zusammenhängende Menge bilden, in sehr allgemeiner Fassung bewiesen. § 1 betrachtet einen Abhängigkeitsraum \([H;\, A]\) im Sinn der Definition einer früheren Arbeit (vgl. vorstehende Referate), der außerdem ein topologischer Raum ist und das Nullenaxiom: jede Abhängigkeitsmannigfaltigkeit ist abgeschlossen, erfüllt. § 2 führt die Sekanten \(\vartheta\) ein als Elemente des Sekantenraums \(\varTheta\); für ein festes \(n\) ist jedem System \([x_1, \ldots \!, x_n]\) von unabhängigen Elementen aus \([H;\, A]\) eine Sekante \(\vartheta\) \([x_1, \ldots \!, x_n]\) so zugeordnet, daß aus der Unabhängigkeit von \(x_1, \ldots \!, x_{n}\) und der Äquivalenz von \(x_1, \ldots \!, x_{n-1}\) und \(x_1^{\prime}, x_2, \ldots \!, x_{n-1}\) im Sinn der Abhängigkeit folgt, daß \(\vartheta\, [x_1, \ldots \!, x_n]=\vartheta \,[x_1^{\prime}, x_2, \ldots \!, x_{n}]\). Es wird über \([H;\, A]\) und \(\varTheta\) noch vorausgesetzt, daß sie Zusammenhangsräume sind, d. h. daß für die als zusammenhängend bezeichneten Mengen gilt, daß die Summe zweier mit nicht leerem Durchschnitt wieder zusammenhängend ist. Außerdem werde für jedes System von unabhängigen \(a_2, \ldots \!, a_{n}\) aus \([H;\, A]\) durch \(f(x)=\vartheta \, [x, a_2, \ldots \!, a_{n}]\) jede zusammenhängende Teilmenge von \([H;\, A] - L[a_2, \ldots \!, a_{n}]\) auf eine zusammenhängende Teilmenge von \(\varTheta\) abgebildet. Unter diesen Voraussetzungen gilt nun, wie in § 3 in mehreren Schritten bewiesen wird, daß je zwei Sekanten eines zur Menge der singulären Punkte von \([H;\, A]\) fremden Kontinuums \(K\) aus \([H;\, A]\) in einer zusammenhängenden Teilmenge der Menge \(\vartheta(K)\) aller Sekanten von \(K\) liegen. Haupthilfsmittel beim Beweise sind die in der zitierten Arbeit eingeführten Zerspaltungen in Abhängigkeitsräumen. § 4 enthält Sätze über das Paratingent, unter anderem: Ist \(\varTheta\) ein metrischer kompakter Raum und \(N\) eine keinen singulären Punkt enthaltende Menge aus \([H;\, A]\) mit kompakter abgeschlossener Hülle, und ist \(N\) im Punkt \(x \in \overline{N}\) lokal zusammenhängend, so ist das Paratingent von \(N\) in \(x\) ein Kontinuum. § 5 enthält den Beweis des Brückensatzes: \(K\) sei ein metrisches Kontinuum, \(A\) eine abgeschlossene Teilmenge. Jeder Punkt von \(A\), der Häufungspunkt einer Komponente von \(K - A\) ist, heiße Komponentenhäufungspunkt von \(K - A\); die Menge aller dieser Punkte sei \(E\). Es seien \(G_1\) und \(G_2\) zwei fremde abgeschlossene Teilmengen von \(A\) mit \(E \subset G_1 + G_2\). Dann gilt: Die Menge \(K-(G_1 + G_2)\) enthält eine entweder zu \(A\) fremde oder in \(A\) enthaltene Brücke Z, d. h. eine zusammenhängende Teilmenge, deren abgeschlossene Hülle mit \(G_1\) und \(G_2\) nichtleere Durchschnitte besitzt. Eine unmittelbare Folge des Brückensatzes ist der Randsatz von Janiszewski (J. École polytechn., Paris, (2) 16 (1912), 79-170 (F. d. M. 43, 567), und zwar S. 100.)
MSC:
57Mxx General low-dimensional topology
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Full Text: Crelle EuDML