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Geometry of polygons in the complex plane. (English) JFM 66.0728.03
Verf. beweist mit Hilfe der Ebene der komplexen Zahlen den folgenden allgemeinen Satz: Es seien \(a_1\), \(a_2\),…, \(a_{n-1}\) die Winkel \(\dfrac{2\pi}n\), \(\dfrac{4\pi}n\),…, \(\dfrac{2(n-1)\pi}n\) in irgend einer Reihenfolge. Über den Seiten eines beliebigen ebenen \(n\)-Ecks konstruiere man in einem und demselben Sinn gleichschenklige Dreiecke mit den Winkeln \(a_1\) an der Spitze. Über den Seiten des von den Spitzen dieser Dreiecke gebildeten \(n\)-Ecks konstruiere man gleichschenklige Dreiecke mit dem Winkel \(a_2\) an der Spitze. Wenn man so fortfährt und zu den Konstruktionen alle Winkel \(a_1\), \(a_2\),…, \(a_{n-1}\) nacheinander benutzt, so erhält man im ganzen \(n -1\) neue Vielecke. Das letzte Vieleck reduziert sich auf einen Punkt, den Schwerpunkt des gegebenen \(n\)-Ecks, und das vorletzte ist regelmäßig. Ist der letzte benutzte Winkel \(a_{n-1}=\dfrac{2(n-p)\pi}n\), so ist das regelmäßige Vieleck vom \(\omega^p\)-Typ, d. h. seine aufeinanderfolgenden Ecken liegen in gleichen Winkelintervallen von \(\dfrac{2p\pi}n\) auf einem Kreis. Dieser Satz ist nicht neu. Er ist von K. Petr in Časopis Mat. Fysik., Praha, 34 (1905), 166-172 (F. d. M. 36, 545 (JFM 36.0545.*)) veröffentlicht worden. Neu ist der Zusatz: Wenn man bei den genannten Dreieckskonstruktionen zwei entsprechende Winkel \(\dfrac{2p\pi}n\) und \(\dfrac{2(n-p)\pi}n\) ausläßt, so erhält man als letztes Vieleck ein “affin-regelmäßiges” Vieleck vom \(\omega^p\)-Typ, und wenn man auf dieses die Konstruktion mit \(\dfrac{2p\pi}n\) anwendet, so entsteht ein regelmäßiges Vieleck von \(\omega^p\)-Typ. Dabei ist unter einem affin-regelmäßigen Vieleck ein Vieleck zu verstehen, das durch eine affine Transformation aus einem regelmäßigen Vieleck entsteht. Ferner gibt Verf. affine Konstruktionen an, als deren Sonderfall sich ein Satz von E. Kasner ergibt (Scripta math., Lwòw, 2 (1934), 131-138; F. d. M. \(60_{\text{II}}\), 1246): Werden immer \(r\) aufeinanderfolgende Ecken eines ebenen \(n\)-Ecks zusammengefaßt und ihr Schwerpunkt als eine Ecke des “einbeschriebenen Vielecks” bezeichnet, und ist \(F\) der größte gemeinsame Faktor von \(n\) und \(r\), so muß in dem einbeschriebenen Vieleck die Vektorsumme der ersten, \((F + 1)\)-ten, \((2F + 1)\)-ten,…Seite gleich Null sein. Erste Seite kann jede beliebige Seite des Vielecks sein. Zu demselben einbeschriebenen Vieleck gehören \(\infty^{2 (F+1)}\) umbeschriebene Vielecke.

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