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Sur le nombre des racines et des facteurs irréductibles d’une congruence donnée. (French) JFM 66.0139.03
Das Hauptergebnis des Verf. ist: Gegeben sei eine normierte ganzzahlige Kongruenz \(n\)-ten Grades nach einer Primzahl \(p\): \[ f (x) = x^n + a_1x^{n-1}+ \cdots + a_n \equiv 0 \mod p \] mit nicht durch \(p\) teilbarer Diskriminante. Sei \(k\) eine natürliche Zahl \(\leqq n\), \(r_\varkappa\) die Anzahl der irreduziblen Faktoren \(\varkappa\)-ten Grades von \(f (x)\). Ersetzt man nun in der Diskriminante \[ D = \begin{vmatrix} \l & \;\l & \;\l & \;\l \\ s_0 & s_1 & \cdots & s_{n-1} \\ s_1 & s_2 & \cdots & s_n \\ \hdotsfor 4 \\ s_{n-1} & \hdotsfor 2 & s_{2n-1} \end{vmatrix}, \] wo die \(s_i\) die Summen der \(t\)-ten Potenzen der Wurzeln von \(f (x)\) bedeuten, die \((\lambda_1 + 1)\)-te Zeile durch die Potenzsummen \(s_{\lambda_1 p}, s_{\lambda_1 p+1}, \dots, s_{\lambda_1 p+n-1}\), in derselben Art die \((\lambda_2 + 1)\)-te Zeile durch die Zeile \(s_{\lambda_2 p}, \dots, s_{\lambda_2 p+n-1}\), und wird so mit den Zeilen \(\lambda_1 + 1, \lambda_2 + 1, \dots, \lambda_k + 1\) verfahren, so heiße die neue Determinante \(D^{(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_k)}\). Ähnlich entsteht \(d^{(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_k)}\) aus der Determinante \[ d = \begin{vmatrix} \l & \;\l & \;\l & \;\l \\ s_0 & s_1 & \cdots & s_{n-1} \\ s_p & s_{p+1} & \cdots & s_{p+n-1} \\ \hdotsfor 4 \\ \hdotsfor 4 \\ s_{(n-1)p}\, & \hdotsfor 2 & s_{(n-1)p+n-1} \end{vmatrix}, \] indem man die \((\lambda_j + 1)\)-te Zeile durch die entsprechende von \(D\), also durch \(s_{\lambda_j}, s_{\lambda_j+1}, \dots, s_{\lambda_j + n-1}\) ersetzt. Nun findet Verf. zwei Formeln mit einer Summe als gemeinsamer linker Seite. Bei ihnen ist unter \(l\) jede der (endlich vielen) natürlichen Zahlen zu verstehen, bei denen es \(l\)-tupel \(i_1 < i_2 < \cdots < i_l\) natürlicher Zahlen mit einer Lösung von \(i_1k_1 + i_2k_2 + \cdots i_lk_l = k\) aus natürlichen Zahlen \(k_\nu\) gibt. Über alle diese \(l\) und die daraus folgenden \(l\)-tupel der \(i_\mu\) und \(k_\nu\) ist links zu summieren. Rechts hingegen hat man über alle Kombinationen \(\lambda_1 < \lambda_2 < \cdots < \lambda_k\) der \(n\) Elemente \(0, 1, 2, \dots, n - 1\) zur \(k\)-ten Klasse zu summieren. Dann gilt \[ \begin{split} \sum(-1)^{k_1 + \cdots + k_l}\binom{r_{i_1}}{k_{i_1}} \cdots \binom{r_{i_l}}{k_{i_l}} \equiv \frac 1D (-1)^k \sum D^{(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_k)} \\ \equiv \frac 1D (-1)^{k+n+v} \sum d^{(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_k)} \mod p. \end{split} \] Das sind also Rekursionsformeln für die \(r_\varkappa\). In der zweiten Formel ist \(v\) die Anzahl der irreduzibeln Faktoren von \(f(x)\).
Zuletzt zeigt Verf., wie aus den beiden ersten Kongruenzen dieser Formeln die bekannten Sätze über quadratische und kubische Kongruenzen, sowie aus den allgemeinen Formeln einige bekannte einfache Sätze über binomische Kongruenzen folgen.
Full Text: EuDML