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Über ein System von Kongruenzen, welches mit dem Wilsonschen Satz zusammenhängt. (Czech. German summary) JFM 66.0138.03
Im folgenden bedeuten kleine lateinische Buchstaben natürliche Zahlen; \(p\) ist stets \(> 1\); \(\sigma(k)\) bedeutet die \(k\)-te elementarsymmetrische Funktion der Größen 1, 2, …, \(p - 1\); alle Kongruenzen sind mod \(p\) gemeint. Zur Wilsonschen Charakterisierung der Primzahlen durch die Kongruenz \(\sigma (p - 1) \equiv -1\) werden folgende Zusätze bewiesen:
1) \(p\) ist dann und nur dann eine ungerade Primzahl, wenn \[ \sigma(1) \equiv \sigma(2) \equiv \cdots \equiv \sigma(p-2) \equiv 0. \tag{1} \] 2) Zur Charakterisierung ungerader Primzahlen genügt statt (1) bereits folgendes System: \[ \sigma(1) \equiv 0, \quad \sigma(2l) \equiv 0 \qquad (0 < 2l < p - 1). \] 3) Sind \(m\) und \(k_1, \dots, k_m\) gegeben, so genügt weder das System \(\sigma(k_\nu) \equiv 0\) (\(\nu = 1, \dots, m\)) noch das System \(\sigma (p - k_\nu) \equiv 0\) (\(\nu = 1, \dots, m\)) zur Charakterisierung aller hinreichend großen ungeraden Primzahlen.