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On the asphericity of regions in a 3-sphere. (English) JFM 65.1442.01
Ausgangspunkt der Arbeit ist folgende von S. Eilenberg aufgeworfene Frage: Wann ist der Außenraum eines polygonalen Knotens oder einer aus zwei Polygonen gebildeten Verkettung in der dreidimensionalen Sphäre \(S^3\) asphärisch? Für einen Knoten \(k\), dessen Fundamentalgruppe \(G\), in der bekannten Weise aus einer Knotenprojektion abgelesen, durch \(n\) Elemente \(\alpha_1,\,\ldots,\,a_n\) mit den Relationen \(\alpha_{j_i}^{\varepsilon_i}\alpha_i =\alpha_{i-1} \alpha_{j_i}^{\varepsilon_i}\) (\(i=1,\,\ldots,\, n\); \(\alpha_0 =\alpha_n\), \(\varepsilon_i = \pm 1\)) erzeugt wird, gelangt Verf. unter Benutzung von Reidemeister Homotopiekettenringen zu folgendem Ergebnis: Dann und nur dann ist \(S^3 - k\) asphärisch, wenn für Elemente \(\xi_1,\,\ldots,\,\xi_n\) des Gruppenringes \(\mathfrak R(G)\) aus den Gleichungen \(\xi_i- \xi_{j_i} = \alpha_{j_i}^{\varepsilon_i} (\xi_{i-1} - \xi_{j_i})\) (wobei \(\xi_0 = \xi_n\)) folgt: \(\xi_1 = \cdots = \xi_n = 0\). Allgemeiner gilt: Die der Nebenbedingung \(\xi_m = 0\), \(m\) fest, \(1 \leqq m \leqq n\), genügenden Lösungen \((\xi_1,\,\ldots,\, \xi_n)\) dieses Gleichungssystems, aus dem eine Gleichung als von den übrigen abhängig weggelassen werden kann, lassen sich umkehrbar eindeutig den zweidimensionalen Homologieklassen von \(S^3 - k\) zuordnen. – Entsprechende Überlegungen gelten für Verkettungen. Ersetzt man \(k\) durch einen beliebigen Streckenkomplex, so treten in dem Gleichungssystem neben den Gleichungen der angegebenen Form, die den Überkreuzungen der Projektion entsprechen, noch andere auf, die von den zu mehr als zwei Kanten gehörenden Ecken des Komplexes herrühren.
Verf. weist für einige einfache Beispiele, darunter den Viererknoten, nach, daß der Außenraum asphärisch ist. Überdies bemerkt er, daß viele von ihm an anderer Stelle (J. London math. Soc. 12 (1937), 63-71; F. d. M. \(63_{\text{I}}\), 552) behandelte Knoten und Verkettungen, die durch “Verdopplung” aus einfacheren Knoten hervorgehen, asphärische Außenräume haben, ebenso die von ihm und Newman (Quart. J. Math. (Oxford Ser.) 8 (1937), 14-21; F. d. M. \(63_{\text{I}}\), 552) untersuchten Verkettungen. Das Beweismittel hierfür ist der Additionssatz: \(P_1\) und \(P_2\) seien Polyeder, \(P=P_1+ P_2\), \(P_{12} = P_1\cdot P_2\); wenn für die Homotopiegruppen \(\pi_r\) gilt: \[ \begin{aligned} \pi_r(P_i) = 0&\quad (i=1,\,2;\;r = 2,\,\ldots,\,n),\\ \pi_s(P_{12}) = 0&\quad (s=2,\,\ldots,\, n - 1), \end{aligned} \] wenn ferner jeder geschlossene Weg von \(P_{12}\), der in \(P_1\) oder \(P_2\) homotop 1 ist, auch in \(P_{12}\) homotop 1 ist, so gilt: \(\pi_r(P) = 0\); (\(r = 2,\,\ldots,\, n\)). Im besonderen ist unter diesen Voraussetzungen \(P\) asphärisch, wenn \(P_1\), \(P_2\) und \(P_{12}\) es sind.
Ist \(M^3\) eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit, \(T^3\) ein Volltorus in \(M^3\), \(l\) eine einfach geschlossene Kurve auf dem Rande \(\dot T{}^3\), die in \(T^3\) ein singularitätenfreies Element berandet, \(m\) eine einfach geschlossene Kurve auf \(\dot T{}^3\), die \(l\) genau einmal schneidet und in \(M^3 - T^3\) homotop 1 ist, so ist die Fundamentalgruppe von \(M^3 - T^3\) zyklisch, die Fundamentalgruppe von \(M^3\) besteht nur aus dem Einselement, und \(M^3\) ist geschlossen.
Den Schluß der Arbeit bilden einige Bemerkungen über den Gruppenring \(\mathfrak R (G)\) eines Knotenaußenraumes, die darauf beruhen, daß die Verschlingungszahlen der Kurven von \(S^3 - k\) mit \(k\) einen Homomorphismus von \(G\) auf die additive Gruppe der ganzen Zahlen definieren.

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