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Statistik der geodätischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung. (German) JFM 65.1413.02

Ber. Sächs. Akad. Wiss. Leipzig, math.-phys. Kl. 91, 261-304 (1939).
Die statistische Theorie der geodätischen Linien auf Flächen negativer Krümmung ist in letzter Zeit zumal von Verf. und G. Hedlund gefördert worden. Die vorliegende Arbeit bedeutet einen Fortschritt in zweifacher Hinsicht. Einmal werden die bereits bekannten Ergebnisse für den Fall konstanter negativer Krümmung vervollständigt und teils mit neuen, teils mit alten aber vereinfachten Methoden gleich für beliebige Dimensionszahl hergeleitet; zum anderen, und das ist das Hauptergebnis der Arbeit, werden die wichtigsten Ergebnisse auf Flächen mit variabler Krümmung übertragen. Letzteres ist ungefähr gleichzeitig auch Hedlund gelungen (in der vorstehend besprochenen Arbeit), doch reichen die Resultate des Verf. auch hier weiter.
Es ist nicht möglich, im Rahmen dieses Referates darzulegen, wie die neue Methode der asymptotischen Geodätischen im einzelnen in den Gang der Untersuchung eingreift; Ref. muß sich mit einem Überblick über die Ergebnisse begnügen.
Der erste Teil der Arbeit ist den Mannigfaltigkeiten \(\mathfrak M\) konstanter negativer Krümmung gewidmet und geht von der klassischen Erzeugung durch einen nichteuklidischen universellen Überlagerungsraum (Hyperkugel) und eine Deckbewegungsgruppe \(\mathfrak G\) aus. Vollständigkeit wird von \(\mathfrak M\) nicht gefordert. Grundlegend für das Folgende ist nun eine Einteilung der Mannigfaltigkeiten in zwei Klassen. \(\mathfrak M\) gehört zur 1. Klasse, wenn die von einem Punkte von \(\mathfrak M\) ausgehenden, ins Unendliche laufenden geodätischen Halbstrahlen einer Nullmenge von Anfangsrichtungen entsprechen; andernfalls wird \(\mathfrak M\) zur 2. Klasse gezählt. Jedes geschlossene \(\mathfrak M\) gehört zur 1. Klasse, allgemeiner jedes \(\mathfrak M\), dessen \(\mathfrak G\) einen ganz im Innern der Hyperkugel gelegenen Fundamentalbereich besitzt; noch allgemeiner, wie Verf. beweist, jedes \(\mathfrak M\) mit endlichem Gesamtvolumen. Bekanntlich besteht bereits für die Gruppen \(\mathfrak G\) eine Einteilung in zwei Arten: \(\mathfrak G\) gehört zur 1. Art, wenn die zugehörige Grenzpunktmenge die Hyperkugel ganz erfüllt, andernfalls zur 2. Art. Im Falle endlicher Basis entsprechen sich beide Einteilungen, nicht aber, wenn \(\mathfrak G\) unendlich viele Erzeugende hat: Ist \(\mathfrak G\) von 2. Art, so ist \(\mathfrak M\) immer von 2. Klasse; ist dagegen \(\mathfrak G\) von 1. Art, so kann \(\mathfrak M\) doch zur 2. Klasse gehören. (\(\mathfrak M\) muß dann nach dem oben Gesagten unendliches Totalvolumen besitzen.)
Verf. beweist nun folgende Eigenschaften der geodätischen Strömung auf \(\mathfrak M\): (1) Auf Mannigfaltigkeiten der 2. Klasse ist die Strömung dissipativ; (2) auf solchen der 1. Klasse ist sie ergodisch (das war bisher, abgesehen von der Beschränkung auf \(n = 2\), nur für endliches Totalvolumen bekannt). (3) Bei endlichem Totalvolumen ist die Strömung vom Mischungstyp. (Verf. nimmt hier die Hedlundsche Methode der Horozykelströmung wieder auf und verallgemeinert sie auf \(n\) Dimensionen.)
Im zweiten Teil der Arbeit werden Flächen mit variabler (negativer) Krümmung behandelt. Vollständigkeit wird jetzt vorausgesetzt. Die Krümmung soll zwischen negativen Grenzen verlaufen und beschränkte Richtungsableitung besitzen. Nach erheblichen differentialgeometrischen Vorbereitungen läßt sich dann wieder die oben beschriebene Klasseneinteilung der Flächen durchführen, und es gelten wieder die Sätze (1) und (2). Verf. hat die Klassifikation sowie die beiden genannten Sätze inzwischen auf noch allgemeinere Flächenklassen übertragen (Statistik der Lösungen geodätischer Probleme vom unstabilen Typ. II. Math. Ann., Berlin, 117 (1940), 590-608; F. d. M. 66, 827 (JFM 66.0827.*)).

Citations:

JFM 66.0827.*