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Bikompakte Erweiterungen topologischer Räume. (Russian. German summary) JFM 65.0878.01
Liegt der topologische Raum \(R\) in dem bikompakten Hausdorffschen Raume \(bR\) überall dicht, so heißt \(bR\) eine bikompakte Erweiterung von \(R\). Čech hat für vollständig regulären \(R\) (Definition von Tychonov, Math. Ann., Berlin, 102 (1929), 544-561; F. d. M. \(55_{\text{II}}\), 963) eine bikompakte Erweiterung \(\beta R\) angegeben, die dadurch charakterisiert ist, daß sie auf jede \(bR\) unter Festhaltung der Punkte von \(R\) eindeutig und stetig abgebildet werden kann (Ann. Math., Princeton, (2) 38 (1937), 823-845; F. d. M. \(63_{\text{I}}\), 570). Ein Verfahren, \(T_1\)-Räume zu bikompakten \(T_1\)-Räumen zu erweitern, rührt von Wallman her (Ann. Math., Princeton, (2) 39 (1938), 112-126; F. d. M. \(64_{\text{I}}\), 603); die Wallmansche Erweiterung \(\omega R\) liefert nur im Falle eines normalen \(R\), und dann immer, einen Hausdorffschen Raum (ist also nur in diesem Falle als bikompakte Erweiterung in oben angegebenem Sinne anzusehen).
Verf. gibt zunächst zwei neue Konstruktionen von Erweiterungen \(\alpha R\) bzw. \(\alpha^\prime R\) eines regulären bzw. vollständig regulären \(T_1\)-Raumes an. Man bezeichnet ein System von Teilmengen von \(R\) als zentriert, wenn der Durchschnitt von je endlich vielen Mengen des Systems nicht leer ist, ein System von offenen Teilmengen als regulär, wenn jede Menge des Systems die abgeschlossene Hülle einer Menge des Systems enthält, als vollständig regulär, wenn in jeder Menge \(\varGamma\) des Systems eine Menge \(\varGamma^\prime\) des Systems “vollständig regulär enthalten” ist, d. h. wenn es zu einer \(\varGamma^\prime \subset \varGamma\) eine in ganz \(R\) stetige reelle Funktion \(\varphi(x)\), \(0 \leqq \varphi(x) \leqq 1\) gibt, die auf \(\varGamma^\prime\) den Wert Null, auf \(R - \varGamma\) den Wert 1 annimmt. Maximale, zentrierte reguläre bzw. vollständig reguläre Systeme heißen reguläre bzw. vollständig reguläre Enden von \(R\). Zu diesen Enden gehören im besonderen die Systeme aller offenen, einen Punkt \(x \in R\) enthaltenden Mengen. Der Gesamtheit der regulären bzw. vollständig regulären Enden von \(R\) läßt sich in naheliegender Weise eine Topologie aufprägen, wobei die zuletzt erwähnte Sorte von Enden mit den Punkten von \(R\) idenfiziert werden kann. Die entstehenden Räume \(\alpha R\) bzw. \(\alpha^\prime R\) sind bei regulärem bzw. vollständig regulärem \(R\) Hausdorffsche Räume.
Die Räume \(\alpha R\) und \(\alpha^\prime R\) lassen sich unter Festhaltung aller Punkte von \(R\) stetig auf jede bikompakte Erweiterung \(bR\) von \(R\) abbilden. Für vollständig regulären \(R\) stimmen \(\alpha^\prime R\) und \(\beta R\) bis auf eine \(R\) punktweise fest lassende Homöomorphie überein. Bei normalem \(R\) fallen die Räume \(\beta R\), \(\omega R\), \(\alpha R\), \(\alpha^\prime R\) bis auf eine Homöomorphie, bei der die Punkte von \(R\) fest bleiben, zusammen.
Ist \(R\) vollständig regulär, aber nicht normal, so ist \(\omega R\) kein Hausdorffscher Raum, also von \(\beta R\) verschieden. Jedoch läßt sich \(\omega R\) – ebenso wie \(\beta R\) – auf jede bikompakte Erweiterung von \(R\), im besonderen auf \(\beta R\), unter Festhaltung der Punkte von \(R\) eindeutig und stetig abbilden. Dagegen gilt, schon aus Gründen der Mächtigkeit, der entsprechende Satz für \(\omega R\) sicher nicht ohne zweckmäßige Einschränkung der Definition der bikompakten Erweiterung, wenn man darin Hausdorffsche durch \(T_1\)-Räume ersetzt. Notwendig und hinreichend dafür, daß bei vollständig regulärem \(R\) \(\alpha R\) mit \(\alpha^\prime R = \beta R\) zusammenfällt, ist jede der folgenden drei Bedingungen: \(\alpha R\) bikompakt, \(\alpha R\) normal, \(\alpha R\) vollständig regulär. Fragen über den Zusammenhang der topologischen Strukturen von \(R\) und \(\alpha R\) werden nicht behandelt; es bleibt daher offen, ob \(\alpha R\) bei vollständig regulärem \(R\) von \(\alpha^\prime R = \beta R\) verschieden sein kann.
Im Falle eines nicht normalen, vollständig regulären \(R\) ergibt sich \(\alpha^\prime R = \beta R\) aus \(\omega R\) als der Zerlegungsraum der – in naheliegendem Sinne – “feinsten” Hausdorffschen Zerlegung von \(\omega R\) in zueinander fremde, abgeschlossene Mengen.
Anhang I enthält eine charakteristische Eigenschaft der maximalen, zentrierten Systeme offener Mengen eines \(H\)-abgeschlossenen Raumes. Im Anhang II wird gezeigt, daß unter allen bikompakten Erweiterungen eines vollständig regulären \(R\) \(\alpha^\prime R = \beta R\) das größte Gewicht hat.

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