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Störungstheorie der Spektralzerlegung. III: Analytische, nicht notwendig beschränkte Störung. (German) JFM 65.0510.01
In einer früheren Arbeit des Verf. (Math. Ann., Berlin, 113 (1936), 677-685; JFM 62.0453.*) wurde bewiesen, daß die isolierten Punkteigenwerte \(\lambda(\varepsilon)\) und die zugehörigen Eigenfunktionen \(\varphi(\varepsilon)\) eines beschränkten symmetrischen linearen Operators \(A(\varepsilon)\) des Hilbertschen Raumes \(\mathfrak H\) in einer hinreichend kleinen Umgebung von \(\varepsilon= 0\) analytisch von \(\varepsilon\) abhängen, sobald \(A(\varepsilon)x\) für jedes \(x\prec \mathfrak H\) regulär, d. h. durch eine konvergente Reihe \(A(\varepsilon)x=A_0x+\varepsilon A_1x +\varepsilon^2A_2x + \cdots\) darstellbar ist, und daß für solche Operatoren auch die Vielfachheit dieser Eigenwerte beim Übergang vom “ungestörten” Operator \(A(0)= A_0\) zum “gestörten” \(A(\varepsilon)\) in einer dort genauer präzisierten Art und Weise ungeändert bleibt.
In der vorliegenden Arbeit wird nun gezeigt, daß diese Aussagen für nichtbeschränkte symmetrische Operatoren \(A(\varepsilon)\), für die \(A(\varepsilon)u\) bei beliebigem \(u\) ihres Definitionsbereiches \(\mathfrak A(\varepsilon)\) regulär ist, im allgemeinen zwar nicht mehr zutreffen, daß sie jedoch in vollem Umfang in Geltung bleiben, wenn \(A(\varepsilon)\) überdies so beschaffen ist, daß es einen den ganzen Hilbertschen Raum \(\mathfrak H\) eineindeutig auf \(\mathfrak A(\varepsilon)\) abbildenden beschränkten, in einer gewissen Umgebung von \(\varepsilon= 0\) regulären Operator \(U(\varepsilon)\) gibt, für den \(A(\varepsilon)U(\varepsilon)\) ebenfalls regulär und beschränkt ist (Operatoren dieser Art werden als regulär schlechthin bezeichnet; für beschränkte Operatoren fällt dieser Regularitätsbegriff mit dem bereits in der zitierten Arbeit eingeführten zusammen), und wenn außerdem \(A(\varepsilon)\) in \(\mathfrak A(\varepsilon)\) selbstadjungiert ist (wozu es übrigens genügt, daß \(A(0)\) in \(\mathfrak A(0)\) selbstadjungiert ist).
Es werden weitere Beispiele nicht-regulärer Operatoren angeführt (z. B. der die Wellengleichung des Zeeman-Effektes definierende Differentialoperator), bei denen trotzdem Regularität der Eigenwerte und Eigenfunktionen in \(\varepsilon\) statthat, die Invarianz der Vielfachheit der Eigenwerte dagegen nicht mehr besteht.
Ferner wird ein praktisch gut brauchbares Kriterium der Regularität für solche symmetrische Operatoren \(A(\varepsilon)\) angegeben, die für alle \(\varepsilon\) einer bestimmten Umgebung von \(\varepsilon = 0\) einen von \(\varepsilon\) unabhängigen Definitionsbereich \(\mathfrak A\) besitzen: \(A(\varepsilon)\) ist regulär, wenn 1) \(A(\varepsilon) u\) für jedes \(u\prec \mathfrak A\) regulär ist, also \(A(\varepsilon)u=A_0u+\varepsilon A_1u + \varepsilon^2A_2u + \cdots\) gilt, 2) \(A(0)\) in einem solchen Bereich \(\mathfrak A_0> \mathfrak A\) selbstadjungiert ist, für den jedes \(u \prec \mathfrak A_0\) durch eine Folge \(u_\nu\prec \mathfrak A\) (\(\nu=1, 2,\ldots\)) und zugleich auch \(A(0)u\) durch \(A(0) u_\nu\) mit beliebiger Genauigkeit approximiert werden kann, und 3) \(|A_nu| \leqq p^n\{|u|+|A_0u|\}\) mit \(p > 0\) gilt. \(A(\varepsilon)\) ist dann sogar zu einem in \(\mathfrak A_0\) regulären und selbstadjungierten Operator fortsetzbar. (Für solche Operatoren lassen sich übrigens auch die in der Störungsrechnung üblichen Methoden zur Bestimmung der gestörten Eigenwerte und -funktionen mit Hilfe der Ansätze \(\lambda(\varepsilon)=\lambda_0 + \lambda_1\varepsilon + \cdots\) und \(\varphi(\varepsilon) = \varphi_0+ \varphi_1\cdot \varepsilon + \cdots\) in Anwendung bringen.) Ein ähnliches Kriterium wird schließlich noch für halbbeschränkte Operatoren hergeleitet.

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References:
[1] Math. Annalen113 (1937), S. 610.
[2] Über die Grundtatsachen aus der Theorie der linearen Operatoren vgl. M. H. Stone, Linear Transformations in Hilbert Space, New York 1932.
[3] E. Hellinger und O. Toeplitz, Grundlagen für eine Theorie der unendlichen Matrizen. Math. Ann.69 (1910), insb. S. 318 und S. Banach loc. cit. I. Mitteilung 7). · JFM 41.0381.01 · doi:10.1007/BF01456325
[4] Vgl. M. H. Stone, insbesondere S. 61.
[5] Er ist enthalten in théorème 5 (Seite 41) von S. Banach. Théorie des opérations linéaires, Warschau 1932.
[6] Über den Begriff des regulären beschrankten Operators vgl. Def. 3 und Def. 3’ der I. Mitteilung, Math. Annalen113 (1937), S. 608. Insbesondere ist \(\epsilon\) stets ein reeller Parameter.
[7] Zum Begriff des reziproken Operators vgl. den Anfang von § 1.
[8] Vgl. Def. 1 und 2 der I. Mitteilung, S. 607.
[9] Vgl. M. H. Stone,, insbesondere S. 428.
[10] DieStetigkeit des diskreten Spektrums folgt aus dem Satz 8 der II. Mitteilung (Math. Annalen113, insb. S. 685).
[11] Häufig unter Benutzung von Bemerkung 1 und 3.
[12] Hierzu vgl. K. Friedrichs, Math. Annalen109, S. 465–487.
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