×

On differential operators in Hilbert spaces. (English) JFM 65.0508.02

Der erste Teil dieser Arbeit gilt im wesentlichen der Frage, in welchem Funktionsbereich ein elliptischer Differentialoperator zweiter Ordnung selbstadjungiert (= hypermaximal) ist. Diese Frage wurde vom Verf. bereits in der Arbeit Spektraltheorie halbbeschränkter Operatoren und Anwendung auf die Spektralzerlegung von Differentialoperatoren (Math. Ann., Berlin, 109 (1934); 465-487, 685-713; 110 (1935), 777-779; JFM 60.1078.*) behandelt. Während in den genannten Arbeiten die Reduzierung des Differentialgleichungsproblems zweiter Ordnung auf eines erster Ordnung durch Zurückführung auf die Form, die zum Operator gehört, vorgenommen ist, wird hier der Differentialoperator zweiter Ordnung \(A\) in ein Produkt von Operatoren erster Ordnung in folgender Weise zerspalten: Sei \(D\) ein Operator, der aus einer Funktion \(u=u(x_1,\ldots,x_n)\), erklärt in irgend einem offenen Bereich \(S\), das System \(v'=\left\{\delta u, \dfrac{\partial u}{\partial x_1}, \ldots, \dfrac{\partial u}{\partial x_n}\right\}\) herstellt, wobei \(\delta\) eine willkürliche feste Zahl bedeutet. Sei \(P\) ein Operator, der aus einem System \(v'=\{v_0,\ldots,v_n\}\) das System \[ Pv'= \left\{\sum_{\nu=0}^n p_{0\nu}v_\nu, \ldots, \sum_{\nu=0}^n p_{n\nu}v_\nu\right\} \] erzeugt; hierin sind die \(p_{\nu\mu}=p_{\mu\nu}\) Funktionen von \(x_1\), …, \(x_n\), und die Matrix \(((p_{\nu\mu}))\) ist in \(S\) positiv-definit. Sei \(D^*\) der Operator, der aus dem System \(v'\) die Funktion \(D^*v'=\delta v_0 - \dfrac{\partial v_1}{\partial x_1} \cdots - \dfrac{\partial v_n}{\partial x_n}\) herstellt. Sei \(R^{-1}\) der Operator, der jede Funktion \(u\) mit \(\dfrac 1r\) multipliziert, \(r\) positiv in \(S\). Dann handelt es sich um den Differentialoperator \(Au =R^{-1}D^*PDu\). – Es wird eine genaue Analyse der Differentialoperatoren \(D\) und \(D^*\) gegeben. Mit deren Hilfe werden Definitionsbereiche angegeben, in denen \(A\) selbstadjungiert ist. Die (wesentliche) Voraussetzung, daß \(P\) positiv-definit sei, wird gemildert, indem \(P\) durch \(P +\varDelta P\) ersetzt wird, wobei der Zusatzoperator \(\varDelta P\), grob gesprochen, nicht die Differentialgleichung, sondern nur die Definitionsbereiche des Operators verändert. Die angegebene Zerlegung von \(A\) erlaubt es, sich mit der Stetigkeit der Funktionen \(p_{\nu\mu}\) zu begnügen. Die allgemeine Theorie des Operators \(A\) wird auf die Schrödingergleichung des Wasserstoffatoms angewendet. – Der zweite Teil beschäftigt sich mit der Frage, welche Stetigkeits- und Differenzierbarkeitseigenschaften Funktionen haben, auf die \(A\) ein- oder mehrmal anwendbar ist; hier wird nur der Spezialfall \(A = D^* D\) behandelt. Sei \[ \nabla_1=D, \quad \nabla_{2\varrho}=D^*\cdot \nabla_{2\varrho-1}, \quad \nabla_{2\varrho+1}=D\cdot \nabla_{2\varrho}; \] dann gilt, grob gesprochen:
Wenn \(u\), \(\nabla_1u\), …, \(\nabla_ru\) Sinn hat und \(L^2\)-integrabel ist, dann ist \(u=u(x_1,\ldots,x_n)\) stetig und hat stetige Ableitungen bis zur Ordnung \(r-\left[\dfrac n2\right] - 1\), falls \(r\geqq \left[\dfrac n2\right]+1\). Unmittelbare Anwendungen auf Differenzierbarkeitseigenschaften der zugehörigen Eigenfunktionen.

Citations:

JFM 60.1078.*
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI