×

zbMATH — the first resource for mathematics

Boolesche Ringe mit geordneter Basis. (German) JFM 65.0086.03
Verf. definieren den Begriff der Basis eines Booleschen Ringes. Eine Basis heißt geordnet, wenn zwischen zwei beliebigen Basiselementen eine Inklusion, \(a\subset b\), stattfindet. Es wird bewiesen, daß die stets mögliche Darstellung jedes Ringelements als Summe von endlich vielen verschiedenen Basiselementen eindeutig ist. Weiter wird bewiesen, daß zwei Ringe \(R\) und \(S\), beide mit geordneter Basis, dann und nur dann isomorph sind, wenn beide Basissysteme denselben Ordnungstypus haben. Ein Element \(a\) heißt Atomelement, wenn 0 das einzige von \(a\) verschiedene und in \(a\) enthaltene Element ist. Ein Ring \(R\) heißt atomar, wenn jedes Element \(a \neq 0\) von \(R\) ein Atom enthält; \(R\) heißt erblich atomar, wenn jeder zu \(R\) homomorphe Ring atomar ist, und atomfrei, wenn er mindestens zwei Elemente enthält, aber kein Atom. Dann sind folgende Aussagen gleichwertig: \(R\) ist erblich atomar, kein zu \(R\) homomorpher Ring ist atomfrei, jeder Teilring von \(R\) ist atomar, kein Teilring von \(R\) ist atomfrei. Ebenso wird bewiesen, daß folgende Aussagen gleichwertig sind: \(R\) hat eine zerstreute Basis, \(R\) ist erblich atomar, jede geordnete Basis ist zerstreut. Zum Schlusse geben Verf. einige Sätze über die Primideale; z. B. ist ihre Menge im Falle einer zerstreuten Basis \(B\) mit \(B\) gleichmächtig.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI EuDML