×

zbMATH — the first resource for mathematics

Über Steinersche Systeme. (German) JFM 64.0937.02
Verf. betrachtet Systeme von \(m\)-gliedrigen Kombinationen aus \(n\) verschiedenen Elementen, welche in Verallgemeinerung der (Steinerschen) Dreiersysteme in der Weise gebildet sind, daß jede \(l\)-gliedrige Kombination o. W. der \(n\) Elemente in genau einer Kombination des Systems enthalten ist, und nennt ein solches System ein Steinersches System \(\mathfrak S(l, m, n)\). Spezielle Systeme dieser Art sind übrigens schon von T. P. Kirkman (Cambridge and Dublin math. J. 5 (1850), 255; 8 (1853), 42) betrachtet worden. Nach Aufstellung einiger einfacher Hilfssätze zur Existenzfrage zeigt Verf., wie die Systeme \(\mathfrak P(q)\equiv \mathfrak S(2, q+1, q^2+q+1)\) bzw. \(\mathfrak E(q)\equiv \mathfrak S(2, q, q^2)\) als endliche, ebene projektive bzw. euklidische Geometrien gedeutet werden können, und spricht die Vermutung aus, daß ein System \(\mathfrak E(q)\) dann und nur dann existiert, wenn \(q\) eine Primzahlpotenz ist, sowie daß es für eine Primzahl \(q\) nur ein einziges solches System gibt. Er beweist ferner, daß die Existenz eines \(\mathfrak E(q)\) die eines \(\mathfrak P(q)\) nach sich zieht und umgekehrt.
Wenn Verf. in der Einleitung erwähnt, daß es ihm nicht gelungen sei, die Existenz eines Systems \(\mathfrak S(3, 4, 14)\) und eines \(\mathfrak S(2, 4, 25)\) aufzuzeigen, so sei darauf hingewiesen, daß S. Bays und E. de Weck (Comment. math. Helvetici 7 (1935), 222-241; JFM 61.0066.*) sich mit den Systemen \(\mathfrak S(3, 4, N)\) befaßt und u. a. nachgewiesen haben, daß mindestens ein \(\mathfrak S(3, 4, 14)\) existiert, während die Existenz eines Systems \(\mathfrak S(2, 4, N)\) nach J. A. Barrau (Verh. Akad. Wet. Amsterdam 17 (1908), 318-326; F. d. M. 39, 281) u. a. auch für \(N = 25\) bewiesen ist. Über diese Systeme siehe auch F. Fitting (Nieuw Arch. Wiskunde (2) 10 (1912), 88-99; F. d. M. 43, 286 (JFM 43.0286.*)). Mit dem Zusammenhang zwischen Systemen \(\mathfrak S(l, m, n)\) und noch allgemeineren mit endlichen Geometrien haben sich auch R. D. Carmichael (Amer. J. Math. 53 (1931), 217-240; Bull. Amer. math. Soc. 38 (1932), 695-696; JFM 57.0110.*; 58\(_{\text{I}}\), 94) und A. B. Coble (Amer. J. Math. 43 (1921), 1-19; F. d. M. 48, 101 (JFM 48.0101.*)) sowie W. H. Bussey (Bull. Amer. math. Soc. 16 (1909), 19-22; 20 (1913), 62; F. d. M. 40, 275 (JFM 40.0275.*); 44, 277) befaßt.
Unter den angegebenen Konstruktionsmethoden für Systeme \(\mathfrak S(l, m, n)\) scheint folgende neu zu sein: Aus einem \(\mathfrak S(3, 4, n_1)\) und einem \(\mathfrak S(3, 4, n_2)\) läßt sich ein \(\mathfrak S(3, 4, n_1n_2)\) herstellen. Der Zusammenhang mit \(l\)-fach transitiven Permutationsgruppen \(n\)-ten Grades ist in ähnlicher Form schon von Carmichael (1931) gegeben worden. Nach einer Zusammenstellung bekannter Systeme gibt Verf. noch Einzigkeitsbeweise spezieller Systeme, unter denen \[ \mathfrak S(4, 5, 11);\;\mathfrak S(5, 6, 12);\;\mathfrak S(4, 7, 23);\;\mathfrak S(5, 8, 24);\;\mathfrak S(3, 6, 22) \] hervorgehoben seien. Der vom Verf. erwähnte Zusammenhang der letzteren mit den Mathieuschen Gruppen (s. a. die unmittelbar vorhergehende Arbeit des Verf. JFM 64.0963.*) ist ebenfalls schon von Carmichael (1931) behandelt worden.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI