×

zbMATH — the first resource for mathematics

On infinite direct products. (English) JFM 64.0377.01
Verf. definiert und untersucht das direkte Produkt der Räume \(\mathfrak H_\alpha\), \(\alpha\in I\), \(\prod_{\otimes\alpha\in I}\mathfrak H_\alpha\), wo die \(\mathfrak H_\alpha\) unitäre, d. h. komplexe Euklidische Räume sind und die Menge \(I\) irgendeine Menge von Indices ist. Zuerst sind die Fragen zu behandeln, die mit der Definition und dem Kriterium für Konvergenz von \(\sum_{\alpha\in I}z_\alpha\), \(\prod_{\alpha\in I} z_\alpha\) zusammenhängen, wo die \(z_\alpha\) komplexe Zahlen sind. Ferner wird der Begriff der Quasikonvergenz eingeführt: \(\prod_{\alpha\in I}z_\alpha\) heißt quasikonvergent, wenn \(\prod_{\alpha\in I}|z_\alpha|\) konvergent ist. Sein Wert ist \(\prod_{\alpha\in I}z_\alpha\), falls dieses Produkt konvergiert, andernfalls 0.
Eine Folge \(f_\alpha\), \(\alpha\in I\), ist eine \(C\)-Folge, wenn \(f_\alpha\in\mathfrak H_\alpha\) und wenn \(\prod_{\alpha\in I}\|f_\alpha\|\) konvergiert. Die Menge der Funktionale \(\varPhi(f_\alpha;\;\alpha\in I)\), definiert für alle \(C\)-Folgen \(f_\alpha\) und konjugiert linear in jedem \(f_{\alpha_0}\), wird mit \(\prod_{\otimes\alpha\in I}\mathfrak H_\alpha\) bezeichnet.
Es stelle \(\varPhi=\prod_{\otimes\alpha\in I}f^0_\alpha\) das lineare Funktional \(\varPhi(f_\alpha) = \prod_{\alpha\in I} (f^0_\alpha,f_\alpha)\) dar, das zu einer gegebenen \(C\)-Folge \(f^0_\alpha\) gehört. Die endlichen linearen Aggregate dieser \(\varPhi\) werden mit \(\prod_{\otimes\alpha\in I}'\mathfrak H_\alpha\) bezeichnet. Es wird in \(\prod_{\otimes\alpha\in I}'\mathfrak H_\alpha\) ein inneres Produkt \((\varPhi, \varPsi)\) definiert. \(C_0\)-Folgen \(f_\alpha\) werden definiert durch die Bedingung: \(\sum{ \alpha\in I}|\, \|f_\alpha\|-1|\) konvergiert. Jede \(C_0\)-Folge ist eine \(C\)-Folge; jede \(C\)-Folge mit \(\prod_{\otimes\alpha\in I} f_\alpha\neq 0\) ist eine \(C_0\)-Folge. Zwei \(C_0\)-Folgen \(f_\alpha\), \(g_\alpha\) sind äquivalent, \((f_\alpha;\;\alpha\in I)\approx(g_\alpha; \;\alpha\in I)\), wenn \(\sum_{\alpha\in I}|(f_\alpha,g_\alpha)-1|\) konvergiert. Die Beziehung \(\approx\) zerlegt die Menge der \(C_0\)-Folgen in elementefremde Klassen. Wenn \(f_\alpha\), \(g_\alpha\) zu verschiedenen Klassen gehören, so ist \[ (\prod_{\otimes\alpha\in I} f_\alpha, \prod_{\otimes\alpha\in I} g_\alpha)= \prod_{\alpha\in I} (f_\alpha, g_\alpha)=0. \] Wenn sie zur selben Klasse gehören, so ist \[ (\prod_{\otimes\alpha\in I} f_\alpha, \prod_{\otimes\alpha\in I} g_\alpha)=0 \] dann und nur dann, wenn ein gewisses \((f_\alpha,g_\alpha)=0\) ist. Es wird dann gezeigt, daß \(\prod_{\otimes\alpha\in I}'\mathfrak H_\alpha\) ein komplexer linearer Raum ist mit einem Hermiteschen definiten linearen inneren Produkt. Der nächste Schritt ist die Vervollständigung von \(\prod_{\otimes\alpha\in I}'\mathfrak H_\alpha\). Sie geschieht durch Adjunktion derjenigen \(\varPhi\in \prod_{\otimes\alpha\in I}\mathfrak H_\alpha\), für die Folgen \[ \varPhi_1,\varPhi_2,\ldots\in \prod\nolimits_{\otimes\alpha\in I}'\mathfrak H_\alpha \] existieren, derart, daß \[ \displaylines{\rlap{\hskip\parindent 1)} \hfill \varPhi(f_\alpha; \;\alpha\in I)=\lim\limits_{r\to\infty} \varPhi_r(f_\alpha;\;\alpha\in I),\hfill} \] \[ \displaylines{\rlap{\hskip\parindent 2)} \hfill \lim\limits_{r,s\to\infty}\|\varPhi_r-\varPhi_s\|=0.\hfill} \] Der sich ergebende Raum wird mit \(\prod_{\otimes\alpha\in I}\mathfrak H_\alpha\) bezeichnet. Es wird bewiesen, daß er ein unitärer Raum ist.
Wenn \(\mathfrak C\in\varGamma\) eine Äquivalenzklasse ist, so heißt die abgeschlossene lineare Menge, die durch alle \(\prod_{\otimes\alpha\in I} f_\alpha\) bestimmt ist, wo \(f_\alpha\) irgendeine \(C_0\)-Folge aus \(\mathfrak C\) ist, das \(\mathfrak C\)-adische unvollständige direkte Produkt der \(\mathfrak H_\alpha\) und wird mit \(\prod^{\mathfrak C}_{\otimes\alpha\in I} \mathfrak H_\alpha\) bezeichnet. Es sei \(f^0_\alpha\) eine Folge in \(\mathfrak C\) mit \(\|f_\alpha\|=1\), \(\boldsymbol\aleph_\alpha\) die Dimension von \(\mathfrak H_\alpha\), \(K_\alpha\) eine Menge von Indices von der Mächtigkeit \(\aleph_\alpha\) und \(\varPhi_{\alpha,\beta}\), \(\beta\in K_\alpha\) eine vollständige orthonormale Menge in \(\mathfrak H_\alpha\), deren Wahl so getroffen sei, daß \(0\in K_\alpha\) und \(\varPhi_{\alpha,0}= f^0_\alpha\) ist. Es sei ferner \(F\) die Menge aller Funktionen \(\beta(\alpha)\), derart, daß \(\beta(\alpha)\in K_\alpha\) und \(\beta(\alpha)\neq 0\) nur für endliche viele \(\alpha\). Dann existieren alle \(\prod_{\otimes\alpha\in I}\varPhi_{\alpha,\beta(\alpha)}\) und bilden ein vollständiges orthonormales System in \(\prod^{\mathfrak C}_{\otimes\alpha\in I}\mathfrak H_\alpha\).
Das assoziative Gesetz bei der Bildung direkter Produkte wird untersucht, und es wird gezeigt, daß es auf unvollständige direkte Produkte beschränkt ist. Die Beziehung von Operatoren in den verschiedenen \(\mathfrak H_\alpha\) zu denen in \(\prod_{\otimes\alpha\in I}\mathfrak H_\alpha\) wird untersucht. Der Ring der beschränkten linearen Operatoren in \(\mathfrak H_\alpha\) wird mit \(\boldsymbol B_\alpha\) bezeichnet; der in \(\prod_{\otimes\alpha\in I}\mathfrak H_\alpha\) mit \(\boldsymbol B_\otimes\). Wenn \(A_{\alpha_0}\in\boldsymbol B_{\alpha_0}\), so existiert ein einziger Operator \(\overline{A}_{\alpha_0}\in\boldsymbol B_\otimes\) derart, daß für alle \(C\)-Folgen \(f_\alpha\) \[ \overline{A}_{\alpha_0}\prod_{\otimes\alpha\in I}f_\alpha = A_{\alpha_0}f_{\alpha_0}\otimes \prod_{\otimes\alpha\in I,\neq\alpha_0}f_\alpha. \] Die Menge aller \(\overline{A}_{\alpha_0}\) wird mit \(\overline{\boldsymbol B}_{\alpha_0}\) bezeichnet.
Die Abbildung \(A_{\alpha_0}\rightleftarrows A_{\alpha_0}\) ist ein Ringisomorphismus von \(\boldsymbol B_{\alpha_0}\) und \(\overline{\boldsymbol B}_{\alpha_0}\subset \overline{\boldsymbol B}_\otimes\).
Man bezeichne den durch alle \(\overline{A}_{\alpha_0}\) erzeugten Ring mit \(\boldsymbol B^{\#}\). Ein Hauptergebnis ist, daß \(\boldsymbol B^{\#}\) nicht identisch ist mit \(\boldsymbol B_\otimes\), denn jedes \(A\in\boldsymbol B^{\#}\) transformiert jedes \(\prod^{\mathfrak C}_{\otimes\alpha\in I}\mathfrak H_\alpha\) in eine Teilmenge seiner selbst.
Die Arbeit schließt mit der ins einzelne gehenden Diskussion eines Beispiels, das eine Illustration von “Faktoren” gibt (vgl. Murray, von Neumann, Ann. Math., Princeton, (2) 37 (1936), 116-229; F. d. M. \(62_{\text I}\), 449), enschließlich derjenigen des Typus II\(_1\).

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: EuDML
References:
[1] G. Birkhoff: Moore-Smith convergence in general topology, Annals of Math. (2) 38 (1937), 39-56. · Zbl 0016.08502 · doi:10.2307/1968508 · www.emis.de
[2] E. Hopf: On causality, statistics, and probability, Journal of Math. and Phys.13 (1934), 51-102. · Zbl 0009.02703 · doi:10.1002/sapm193413151 · www.emis.de
[3] A. Kolmogoroff: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, J. Springer, Berlin (1933). · Zbl 0007.21601
[4] H. Löwig: Komplexe euclidische Räume von beliebiger endlicher oder transfiniter Dimensionszahl, Acta Szeged7 (1934), 1-33. · Zbl 0009.25901 · www.emis.de
[5] (5) Z. Lomnicki and S. Ulam: Sur la théorie de la mesure dans les espaces combinatoires et son application au calcul des probabilités, I, Fund. Math.23 (1934), 237-278. JFM60.0977.04 · Zbl 0009.40601 · eudml:212724
[6] E.H. Moore and H.L. Smith: A general theory of limits, American Journal of Math.44 (1922), 102-121. · JFM 48.1254.01 · www.emis.de
[7] F.J. Murray and J. v. Neumann: On rings of operators, Annals of Math. (2) 37 (1936), 116-229. · Zbl 0014.16101 · doi:10.2307/1968693 · www.emis.de
[8] (8) J. v. Neumann: Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren, Math. Annalen102 (1929), 49-131. · JFM 55.0824.02 · eudml:159371
[9] (9) J. v. Neumann: Zur Algebra der Funktionaloperatoren, Math. Annalen102 (1929), 370-427. · JFM 55.0825.02 · eudml:159384
[10] J. v. Neumann: Über adjungierte Funktionaloperatoren, Annals of Math. (2) 33 (1932), 294-310. · Zbl 0004.21603 · doi:10.2307/1968331 · www.emis.de
[11] J. v. Neumann: On a certain topology for rings of operators, Annals of Math. (2) 37 (1936), 111-115. · Zbl 0014.16006 · doi:10.2307/1968692 · www.emis.de
[12] J. v. Neumann: Lectures on operator theory [Princeton1934, mimeographed].
[13] (13) F. Rellich: Spektraltheorie in nichtseparablen Räumen, Math. Annalen110 (1935), 342-356. JFM60.0325.02 · Zbl 0010.02502 · doi:10.1007/BF01448033 · eudml:159728
[14] M.H. Stone: Linear Transformations in Hilbert space, Amer. Math. Soc. Coll. Publications, Vol. XV (1932). · Zbl 0933.47001
[15] Y.Y. Tseng: Thesis, Chicago (1932).
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.