×

zbMATH — the first resource for mathematics

On fractional integration by parts. (English) JFM 64.0197.02
Das rechtshändige \(\alpha \)-te Integral mit dem Anfangspunkt \(a\), bzw. das linkshändige \(\alpha \)-te Integral mit dem Anfangspunkt \(b\) wird in üblicher Weise so definiert: \[ \begin{aligned} f_\alpha ^+(a, x)&=\frac{1}{\varGamma (\alpha )}\int\limits_{a}^{x}f(t)\,(x-t)^{\alpha -1}\,dt,\\ f_\alpha ^-(x, b)&=\frac{1}{\varGamma (\alpha )}\int\limits_{x}^{b}f(t)\,(t-x)^{\alpha -1}\,dt.\end{aligned} \] Ein Satz über partielle Integration unter Zugrundelegung dieser Begriffe ist der folgende:
Wenn \(p > 1\), \(q > 1\), \(0<\alpha <1\), \(\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}-1\leqq \alpha \) ist und \(f\) zu \(L^p\), \(g\) zu \(L^q\) gehört, dann ist \[ \int\limits_{a}^{b}f_\alpha ^+(a, x)\,g(x)\,dx=\int\limits_{a}^{b}f(x)\,g_\alpha ^-(x, b)\,dx. \] Zu diesem auf Lebesguesche Integrale bezüglichen Satz werden Analoga bewiesen, die sich auf Riemann-Stieltjessche Integrale und auf verallgemeinerte Stieltjes-Integrale beziehen. Solche Sätze lassen sich dazu benutzen, um z. B. ein nicht absolut konvergentes Riemann-Stieltjes-Integral in ein gewöhnliches Integral zu transformieren.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI