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Über eine Eigenschaft der ebenen Komplexe. (German) JFM 63.0550.01
Für die Bezeichnungen vgl. das vorangehende Referat. Verf. stellt in der vorliegenden Arbeit eine Basis \(\mathfrak B\) für die vollständigen Komplexe \(K_v^*\) auf; dabei bezeichnet \(K^*\) einen Komplex, der sich nicht auf \(K_a\) zusammenziehen läßt, d. h. nicht dadurch in \(K_a\) überführen läßt, daß man endlich oft den folgenden Prozeß anwendet: Weglöschen einer Kante und Identifizieren ihrer beiden Endpunkte, Verschmelzen etwa dabei auftretender Kanten mit zwei gemeinsamen Endpunkten zu einer einzigen Kante mit denselben Endpunkten.
\(\mathfrak B\) sei die folgende Gesamtheit von Komplexen: (1) alle einfachen Dreieckskomplexe (d. h. solche, die außer Dreiecken keinen Dreieckskomplex als echten Teil enthalten, (2) der Komplex \(K_0\), der aus einem Achteck entsteht, wenn man die Paare gegenüberliegender Ecken durch (zueinander fremde) Kanten verbindet. Verf. zeigt: Man erhält (abgesehen von den trivialen Ausnahmen) jeden \(K_v^*\) als (geordnete) Summe \(\sum\limits_{i=1}^{n} K_i\), \(K_i\) aus \(\mathfrak B\), wobei (1) für \(i = 2,\ldots, n\) \(K_i\) mit \(\sum\limits_{j=1}^{i-1} K_j\) entweder eine Kante \(k_i\) oder ein Dreieck \(D_i\) gemeinsam hat und (2) von den \(K_j\) \((j=1,\ldots, i)\), zu denen \(k_i\) gehört, höchstens einer ein Dreieckskomplex ist. Umgekehrt ist jeder so gebildete Komplex ein \(K_v^*\).
Die Komplexe \(K_v^*\) stehen in folgender Beziehung zum Vierfarbensatz: Dann und nur dann, wenn der Vierfarbensatz (ausgesprochen als Satz über Färbung der Ecken eines ebenen Komplexes) richtig ist, läßt sich jeder \(K_v^*\) und daher auch jeder \(K^*\) – unabhängig von der Möglichkeit der Einbettung in die Ebene – mit vier Farben färben. (Der Schlußsatz der Einleitung ist unzutreffend: Es gibt auch \(K_a\), die sogar mit zwei Farben gefärbt werden können.)

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