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Zur analytischen Theorie der Grenzkreisgruppen. I. (German) JFM 63.0304.02
Verf. bringt in der vorliegenden Arbeit die ausführlichen Beweise zu einem Teil der Sätze, die in seinem Bericht angekündigt wurden (Jber. Deutsch. Math.-Verein. 47 (1937), 161-176). Seine Untersuchungen führen zu einer Neubegründung der Theorie der automorphen Formen; sie ist einfacher als jene, wie sie in dem Werke “Automorphe Funktionen” von Fricke-Klein und in den Ritterschen Arbeiten gegeben wird. Darüber hinaus kann der Verf. mit seinen neuen Untersuchungen einige offene Fragen aus seinen früheren Arbeiten erledigen (vgl. Abh. math. Sem. Hamburgische Univ. 8 (1930), 215-242; Math. Ann. 106 (1932), 343-368; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 330; \(58_{\text{I}}\), 402).
Unter einer Grenzkreisgruppe versteht man eine Gruppe \(\varGamma\) von reellen unimodularen Matrizen \(L=\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\\gamma&\delta\end{pmatrix}\) mit folgenden Eigenschaften: Es gibt in \(\varGamma\) keine Matrizenfolge, die gegen \(I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) oder – \(I\) konvergiert. Die Gruppe \(\overline{\varGamma}\) der von \(L\) erzeugten linearen Substitutionen \(\tau'=L\tau=\dfrac{\alpha\tau+\beta}{\gamma\tau+\delta}\) ist in jedem reellen Punkt \(\tau\), einschließlich \(\tau=\infty\), nicht eigentlich diskontinuierlich. \(\overline{\varGamma}\) ist bekanntlich in \(\mathfrak H:\operatorname{Im}(\tau)>0\) eigentlich diskontinuierlich.
Zum Aufbau der Theorie der Grenzkreisgruppen wird die Weylsche Darstellung (H. Weyl, Die Idee der Riemannschen Fläche, Leipzig 1913; F. d. M. 44, 492 (JFM 44.0492.*)) der nichteuklidischen Bewegungsgruppen des Einheitskreises herangezogen. Die Ergebnisse, auf den vorliegenden Fall übertragen, gestatten, zusammen mit zwei vom Verf. bewiesenen Sätzen über parabolische Fixpunkte von \(\varGamma\), aus \(\mathfrak H\) unter Benützung von \(\varGamma\) eine gewisse Riemannsche Fläche \(\mathfrak B\) zu konstruieren; alle verschiedenen Punkte \(\mathfrak p\) von \(\mathfrak B\) werden gegeben durch alle verschiedenen vollständigen Systeme von Punkten \(\tau\) aus \(\mathfrak H\), die bezüglich \(\varGamma\) äquivalent sind. \(\mathfrak H\) ist zu \(\mathfrak B\) reguläre universelle Überlagerungsfläche mit vorgegebener Verzweigung.
Zur Einführung multiplikativer Differentiale (vgl. dazu auch das erwähnte Werk von Weyl) geht Verf. von einer beliebigen Riemannschen Fläche \(\mathfrak F\) und einer zu \(\mathfrak F\) gehörigen universellen regulären Überlagerungsfläche \(\widetilde{\mathfrak F}\) aus, die über isolierten Punkten von \(\mathfrak F\) in gegebener endlicher oder unendlicher Ordnung verzweigt ist. Es wird gezeigt, daß dem multiplikativen Differential \(dz\) auf \(\widetilde{\mathfrak F}\) bezüglich \(\mathfrak F\), d. i. ein Differential der Eigenschaft \((dz)_{S\widetilde{\mathfrak p},t}=\mu(S)\,(dz)_{\widetilde{\mathfrak p},t}\), \(\mu(S)\) beliebig komplex, \(S\) Decktransformation von \(\widetilde{\mathfrak F}\) bezüglich \(\mathfrak F\), ein Divisor \(\mathfrak d\) auf \(\mathfrak F\) zukommt; er charakterisiert das Verhalten von \(dz\) auf \(\widetilde{\mathfrak F}\) über jedem Punkt von \(\mathfrak F\). Der Zusammenhang zwischen multiplikativen Differentialen und automorphen Formen der Dimension – 2 wird entwickelt.
Ist \(S=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}\) reell modular, \(\mathfrak m' = \{m_1', m_2'\} =\mathfrak mS\), so gilt gemäß der vom Verf. gegebenen Definition der analytischen Funktion \(\log (c\tau + c\mu)\) eine Beziehung: \(\log (m_1S\tau + m_2) = \log(m_1'\;\tau + m_2') - \log (c\tau + d) + 2\pi iw(\mathfrak m, S)\), wobei \(w (\mathfrak m, S)\) in der Form \[ w (\mathfrak m, S) =\frac1{2\pi} \big(\arg (m_1S\tau + m_2) - \arg (m_1'\tau + m_2') + \arg (c\tau + d)\big) \] dargestellt werden kann. \(w (\mathfrak m, S) = w (M, S)\) \(\bigg(M = \Big({m_0\atop m_1}{m_3\atop m_2}\Big)\) Ergänzung des Vektors \(\mathfrak m = \{m_1, m_2\}\) zu der reellen unimodularen Matrix \(M\bigg)\) ist nur der Werte 0, 1, \(-1\) fähig. Die Berechnung von \(w (M, S)\) wird nach zwei Methoden durchgeführt. Die Ergebnisse sind in Satz 4 zusammengestellt. Sie gestatten die Herleitung von Formeln, die bei der Untersuchung von automorphen Formeln benutzt werden. Durch Verallgemeinerung der Funktion \(w (M, S)\) gelangt Verf. zu einem Formelsystem, von dem in einem späteren Teil der Arbeit Gebrauch gemacht werden soll.
Im zweiten Abschnitt des § 2 wird die automorphe Form \(f(\tau)\) zur Gruppe \(\varGamma\) von der Dimension – \(r\) und dem Multiplikatorsystem \(v\) eingeführt. Dabei ist \(f(\tau)\) durch die Beziehung \(f(L\tau) = v (L) (\gamma\tau + \delta)^rf(\tau)\) und gewisse Regularitätsbedingungen definiert. \(r\) darf eine beliebige komplexe Zahl sein, \(v (L)\) ist von der Substitution \(L\subset\varGamma\) abhängig. Die in einer früheren Arbeit des Verf. dargestellte Theorie der automorphen Formen und der Multiplikatorensysteme reeller und komplexer Dimension wird hier in der Weise ergänzt, daß der Einfluß der zu \(\varGamma\) gehörigen elliptischen Matrizen untersucht wird. Eine nähere Angabe der Resultate an dieser Stelle würde zu weit führen.
Je nachdem, ob eine gegebene Grenzkreisgruppe ein endliches oder unendliches System von Erzeugenden besitzt, sagt man, sie gehöre zur ersten oder zweiten Art. Es gilt der Satz, daß eine Grenzkreisgruppe dann und nur dann zur ersten Art gehört, wenn die Riemannsche Fläche \(\mathfrak B\) geschlossen und \(\mathfrak H\) über höchstens endlich vielen Punkten von \(\mathfrak B\) verzweigt ist. Zum Beweise werden Überlegungen aus den zitierten Arbeiten des Verf. und von Koebe angegebene Methoden (Math. Ann. 67 (1909), 145-224; F. d. M. 40, 470 (JFM 40.0470.*)) verwandt. Gehört \(\varGamma\) zur zweiten Art, so ist \(\mathfrak B\) nicht geschlossen. Die bei diesen Gruppen zweiter Art erzielten Ergebnisse über Multiplikatorwerte usw. sind in Satz 5 niedergelegt. Wesentlich für den Beweis sind Überlegungen von Koebe, die in der Arbeit “Allgemeine Theorie der Riemannschen Mannigfaltigkeiten” (Acta math., Uppsala, 50 (1927), 27-157; F. d. M. 53, 320 (JFM 53.0320.*)) dargestellt sind.
Die Beweise zeigen, daß bei der Konstruktion der kanonischen Fundamentalbereiche, der Herleitung der Ergebnisse über Multiplikatorwerte usw. von den Sätzen der Uniformisierungstheorie kein Gebrauch gemacht wird; vielmehr ist es möglich, die angedeuteten Resultate topologisch exakt zu begründen. Darin liegt ein schöner Fortschritt gegenüber der älteren Theorie, wie sie in den eingangs erwähnten Arbeiten dargestellt wird. (IV 6 C.)

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References:
[1] Theorie der automorphen Formen beliebiger reeller Dimension und ihre Darstellung durch eine neue Art Poincaréacher Reihen, Math. Annalen108 (1930), S. 369-436, im folgenden zitiert mit B. · JFM 56.0330.02
[2] Ein Fundamentalsatz aus der Theorie der ganzen automorphen Formen, Math. Annalen106 (1932), S. 343-368, im folgenden zitiert mit E. · Zbl 0004.01202
[3] E. Ritter, Die eindeutigen automorphen Formen vom Geschlechte Null usw., Math. Annalen41; ferner E. Ritter, Die multiplikativen Formen auf algebraischem Gebilde beliebigen Geschlechtes mit Anwendung auf die Theorie der automorphen Formen, Math. Annalen44. Vgl. auch: Klein-Fricke, Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen, Bd 2, Leipzig 1912.
[4] H. Weyl, Die Idee der Riemannschen Fläche, B. G. Teubner 1913; zweite Auflage, Teubner 1923; im folgenden zitiert mit W. · JFM 44.0492.01
[5] P. Koebe, Über die Uniformisierung der algebraischen Kurven I, Math. Annalen67 (1909), S. 145-224. · JFM 40.0470.01
[6] P. Koebe, Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven. I: Das allgemeine Uniformisierungsprinzip, Crelles Journal f. Math.138 (1910), S. 192-253. · JFM 41.0482.01
[7] P. J. Myrberg, Über die analytische Darstellung der automorphen Funktionen durch bedingt konvergente Reihen und Produkte, Acta Mathematica59, S. 329-372; Über die Bestimmung des Typus einer Riemannschen Fläche, Annales Acad. Scientiarum Fenn. (A)45 (1935); Analytische Darstellung der automorphen Funktionen bei gewissen fuchsoiden gruppen, ibidem48 (1936).
[8] W, § 20; dies ist die einzige Stelle der vorliegenden Theorie, an der das Normalpolygon verwendet wird.
[9] Eine eingehende Darstellung dieses Prozesses findet sich bei Koebe,, S. 194-205. · JFM 40.0470.01
[10] P. Koebe,, S. 201-207; ferner: Allgemeine Theorie der Riemannschen Mannigfaltigkeiten (Konforme Abbildung und Uniformisierung) (Preisschrift), Acta Mathematica50 (1927), S. 29-157; s. insbes. dritter Teil, Abschnitt 20, S. 94-98. · JFM 53.0320.01
[11] P. Koebe,, S. 201-207.
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