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Theorie der endlichen und unendlichen Graphen. Kombinatorische Topologie der Streckenkomplexe. (German) JFM 62.0654.05
XI + 258 S. Leipzig, Akademische Verlagsgesellschaft (Mathematik in Monographien, Bd. 16) (1936).
Die Auffassung der Streckenkomplexe ist hier rein kombinatorisch; auf die geometrischen Eigenschaften der Kanten als kontinuierliche Punktmengen wird, abgesehen von einigen Anwendungen, nicht Bezug genommen, ebenso werden Graphen als Teilmengen von Flächen nur anläßlich der Faktorenzerlegung kurz gestreift. In systematischem Aufbau werden die Sätze mit ausführlichen Beweisen gebracht ohne Voraussetzung besonderer Vorkenntnisse, wobei vor allem auch Wert gelegt wird auf historisch-bibliographische Angaben, denen auch ein Literaturverzeichnis am Schlusse dient.
Nach einführenden Kapiteln werden behandelt: die Bäume mit ihren Zentren und Achsen, Punkt- und Kantenbasen für gerichtete Graphen, Zyklen- und Büschelbasen, Komposition von Graphen, Zerlegungspunkte (cut points) und Faktorenzerlegung (erwähnt seien hier einfache Beispiele, die zeigen, daß die Zerlegung in Faktoren nicht immer eindeutig ist). Starke Berücksichtigung finden die mannigfachen Anwendungsmöglichkeiten und Zusammenhänge mit neuen und alten Problemen, aus denen die Graphentheorie zum Teil hervorgegangen ist, so Invariantentheorie, Elektrizitätslehre und Chemie, Mengenlehre, Kurventheorie, Gruppentheorie, Kombinatorik, Matrizen, formale Logik und Axiomatik, Spieltheorie, Unterhaltungsmathematik, Vierfarbenproblem, Labyrinthproblem u. a. Durch die graphentheoretische Interpretation werden auch vereinfachte oder anschaulichere Beweise für bekannte Sätze aus diesen Gebieten gegeben, so z. B. für die Hertzschen Untersuchungen über gewisse Probleme der Axiomatik.
Verschiedene neue Sätze behandeln unendliche Graphen (meist mit Benutzung des Auswahlprinzips und zum Teil auch des Wohlordnungssatzes), die Verallgemeinerungen von Sätzen über endliche Graphen und auch wegen ihrer Beziehung zur Mengenlehre von Interesse sind (Äquivalenzsatz, unendliche Kantenzüge, Faktorenzerlegung); andere behandeln die Büschelformen (so wird durch Zurückführung auf allgemeinere Sätze über Büschel- und Zyklenformen der Satz bewiesen, daß eine nicht verschwindende lineare Form der Kanten nicht gleichzeitig aus Büschel- und Zyklenformen zusammengesetzt werden kann).