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Fuchsian groups and transitive horocycles. (English) JFM 62.0392.03
Verf. beschäftigt sich mit den Kurven konstanter geodätischer Krümmung \(g_c\) in der hyperbolischen Ebene. Diese entsprechend ihren geometrischen Eigenschaften in vier Klassen einteilbaren Kurven (Geodätische für \(g_c=0\), Abstandslinien, Hyperzyklen für \(0< g_c< 1\), Horozyklen für \(g_c=1\) und hyperbolische Kreise für \(g_c >1\)), werden betrachtet im Hinblick auf Transitivität, wobei Verf. eine Kurve auf der vermöge einer Fuchsschen Gruppe durch die hyperbolische Ebene definierten zweidimensionalen Mannigfaltigkeit transitiv nennt, wenn sie sämtliche Linienelemente der Mannigfaltigkeit mit unbeschränktem Annäherungsgrad approximiert (bei Koebe (S.-B. Preuß. Akad. Wiss., Phys.-math. Kl., 1929, 414-457; F. d. M. \(55_{\text{II}}\), 958-959) quasiergodischer bzw. semiergodischer Verlauf). Transitive Geodätische (\(g_c=0\)) gibt es, falls die betreffende Fuchssche Gruppe von erster Art ist. Hyperzyklen (Linien gleichen Abstands von einer Geodätischen) sind transitiv, wenn die betreffende zugehörige Geodätische transitiv ist. Die hyperbolischen Kreise sind geschlossene Kurven und können wegen ihrer endlichen Länge nicht transitiv sein. Die Frage des Transitivseins für den Fall der Horozyklen wird vom Verf. untersucht. Es werden Kriterien für die Existenz transitiver Horozyklen angegeben; insbesondere wird gezeigt, daß die Frage des Transitivseins für Horozyklen lediglich von dem betreffenden Berührungspunkt mit dem Einheitskreis abhängt (der euklidische Radius der Horozyklen ist dafür nicht maßgebend). Den Berührungspunkt lauter transitiver Horozyklen mit dem Einheitskreis bezeichnet Verf. als \(h\)-transitiv und gewinnt so eine Klassifikation der Peripheriepunkte des Einheitskreises; insbesondere ergibt sich z. B. der Satz, daß die Endpunkte aller “Achsen” hyperbolischer Transformationen einer Fuchsschen Gruppe erster Art \(h\)-transitiv sind. Nach Herleitung einer Reihe interessanter Sätze betreffend \(h\)-transitive Punkte wendet Verf. die erhaltenen Resultate an auf Verschiebungen in den Geodätischen der Riemannschen Mannigfaltigkeit. Schließlich werden Eigenschaften hergeleitet, die im Zusammenhang mit dem Verhalten automorpher Funktionen in Horozyklen stehen. (V 1, 6 E.)

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