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Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale. (German) JFM 62.0186.02
Verf. beweist die folgenden Sätze:
I. Gehören die Weierstraßschen Funktionen \(\wp(x)\) und \(\zeta(x)\) zu den gleichen Invarianten \(g_2\) und \(g_3\) und hat \(\wp(x)\) an der Stelle \(x=\beta\) keinen Pol, so sind die sechs Größen \(g_2\), \(g_3\), \(a\), \(b\), \(\wp(\beta)\), \(a\beta + b\zeta (\beta)\), wobei \(|a|+|b| \neq 0\) ist, nicht sämtlich algebraisch.
II. Es seien die Weierstraßschen Funktionen \(\wp(x)\) und \(\wp^*(x)\) algebraisch unabhängig, und keine dieser Funktionen habe an der Stelle \(z = \beta\) einen Pol. Es seien ferner \(g_2\), \(g_3\), \(g_2^*\), \(g_3^*\) die zugehörigen Invarianten; dann wird behauptet: Mindestens eine der sieben Zahlen \(g_2\), \(g_3\), \(g_2^*\), \(g_3^*\), \(\wp(\beta)\), \(\wp^*(q\beta)\), \(q\) ist transzendent.
III. Ist \(\beta\) kein Pol von \(\wp(x)\), so wird behauptet: Die Größen \(g_2\), \(g_3\), \(\wp(\beta)\), \(q\neq 0\) und \(e^{q\beta}\) sind nicht gleichzeitig algebraisch.
Aus diesen drei Sätzen zieht Verf. zahlreiche Folgerungen; so ergibt sich z. B. aus Satz I: Der Wert eines elliptischen Integrals erster oder zweiter Gattung mit algebraischen Koeffizienten und zwischen algebraischen Grenzen ist transzendent. Speziell: Die Länge eines Bogens einer jeden Ellipse mit algebraischen Achsen und zwischen algebraischen Abszissen- und Ordinatenwerten ist transzendent. Aus Satz II ergibt sich: Der Quotient von zwei elliptischen Integralen erster Gattung mit algebraischen Koeffizienten, genommen zwischen algebraischen Grenzen auf Riemannschen. Flächen, die durch birationale Transformation nicht ineinander überführbar sind, ist transzendent. Nimmt die Modulfunktion \(J(\tau)\) an einer Stelle \(\tau\) einen algebraischen Wert an, so muß \(\tau\) entweder imaginärquadratisch oder transzendent sein.
Die Beweise der Sätze I, II und III werden mit der vom Verf. schon früher entwickelten Methode (J. reine angew. Math. 172 (1934), 65-69, 70-74; JFM 60.0163.*) geführt. Benutzt wird außerdem der Hilfssatz : Es ist \(\wp^{(r)}(x)\) ein Polynom in \(\wp(x)\), \(\wp'(x)\), \(g_2/2\), \(g_3\) vom höchsten Gesamtgrade \( \leqq [(r + 2)/2]\) mit ganzen rationalen Koeffizienten, und es gilt \(|\wp^{(r)}(x)| < \gamma_1^r \cdot r^r\), wenn \(|\wp^{(r)}(x) < \gamma_2\) vorausgesetzt wird. Dabei sind \(\gamma_1\), \(\gamma_2\) natürliche, von \(r\) unabhängige, Zahlen. Unter der Annahme, daß die in Satz I genannten Größen sämtlich algebraisch sind, zeigt Verf. entsprechend den früher entwickelten Beweisprinzipien, daß für genügend großes \(n\) eine Funktion \[ L(x) = \sum_{\lambda=0}^{n-1} \sum_{\mu=0}^{n-1} C_{\lambda\mu} \wp^\lambda(x) \cdot (ax + b\zeta(x))^\mu \] mit den folgenden Eigenschaften existiert: 1) Die \(C_{\lambda\mu}\) sind ganz algebraisch und liegen in dem algebraischen Zahlkörper \(R(g_2,g_3,a,b,\wp(\beta),\wp'(\beta),\zeta(\beta))\) vom Grade \(s\). 2) Die \(C_{\lambda\mu}\) und ihre Konjugierten bezüglich \(R\) verschwinden nicht sämtlich und genügen der Abschätzung \(|\overline{C_{\lambda\mu}}| < \gamma_3^r \cdot r^{2r}\) mit \(r = [n^2/2k]\) und \(k = 24s+1\). 3) \(L(x)\) verschwindet an den Stellen \(\xi_\varkappa = \varkappa \cdot \beta\) (\(\varkappa=1, 2, \ldots,k\)) (die Polstellen von \(\wp(x)\) sind auszulassen) mindestens von der Ordnung \(r\). Durch einmalige Anwendung der Cauchyschen Integralformel auf die Funktion \(L(x) P(x)/Q(x)\) zeigt Verf. durch Induktion, daß \(L(x)\) an den Stellen \(\xi_\nu\) Nullstellen beliebig hoher Ordnung haben muß. \(P(x)\) ist dabei ein Polynom, welches \(L(x)\) im Kreis vom Radius \(t^{1/6}\) um den Nullpunkt ganz macht, wenn \(t \geqq r\) die schon ermittelte Ordnung der Nullstellen \(\xi_\nu\) ist. Entsprechend ist \(Q(x)\) ein Polynom, welches genau an den Stellen \(\xi_\nu\) mit der schon ermittelten Ordnung verschwindet. Als Integrationsweg wird ein Treppenzug genommen, der sich aus Mittellinien des Periodennetzes der \(\wp\)-Funktion zusammensetzt, im Kreise vom Radius \(t^{1/6}\) liegt und dort eine möglichst große Fläche umschließt. Das identische Verschwinden von \(L(x)\) führt zu einem Widerspruch, da \(\wp(x)\) und \(ax + b\zeta(x)\) algebraisch unabhängig sind.
Die Beweise der Sätze II und III verlaufen methodisch genau so. Hier werden die Ansätze \[ L(x)= \sum_{\lambda=0}^{n-1} \sum_{\mu=0}^{n-1} C_{\lambda\mu} \wp^\lambda(x) \cdot \wp^{*\mu}(qx) \quad \text{bzw.} \quad L(x) = \sum_{\lambda=0}^{n-1} \sum_{\mu=0}^{n-1} C_{\lambda\mu} \wp^\lambda(x) \cdot e^{\mu qx} \] gemacht. (IV 6 C.)

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References:
[1] Über die Perioden elliptischer Funktionen, Journ. f. Math.167 (1932), S. 62–69. · JFM 58.0395.01
[2] Vorgetragen im mathematischen Kolloquium zu Frankfurt a. M.
[3] Transzendenzuntersuchungen periodischer FunktionenII, Journ. f. Math.172 (1934), S. 70–74.
[4] Sur les séries entières satisfaisant à une équation différentielle algébrique, C. R.201 (1935), p. 444–445. · Zbl 0012.07602
[5] Ein neues Prinzip für Transzendenzbeweise, Proc. Amaterdam38 (1935). S. 864–871. · Zbl 0012.34101
[6] ”Eine Funktion verschwindet an einer Stelle vonr-ter Ordnung” soll heißen: Die betreffende Stelle ist für die Funktion mindestensr-fache Nullstelle.
[7] Siehe z. B. Hilfssatz1 (S. 67) meiner Arbeit: Transzendenzunterauchungen periodischer Funktionen I; Journ. f. Math.172 (1934), S. 65–69.
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