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Über ausgeglichene Verbände. (German) JFM 62.0089.03
Verf. nennt eine Reihe von \(m\) Elementen aus einem Verbände (vgl. die Besprechung der Arbeit des Verf. in Math. Ann. 111 (1935), 596-621; F. d.M. \(61_{\text I}\), 112-113) eine Kette, wenn bei passender Numerierung \(a_\mu\) entweder immer oberer oder immer unterer Nachbar von \(a_{\mu+1}\) ist (\(\mu=1,\ldots,m-1\)). Er betrachtet die Verbände, worin alle Ketten, die zwei voneinander abhängige Elemente verbinden, endlich sind und die gleiche Länge haben, und nennt sie \(\mathfrak A\)-Verbande (ausgeglichene Verbände). Er definiert eine Funktion \([a, b]\), welche für zwei abhängige Elemente \(a\) und \(b\) die Länge der verbindenden Ketten angibt. Unter einer Brücke versteht er eine Reihe von Elementen \(a_1,\ldots,a_m\) derart, daß \(a_\mu\) und \(a_{\mu+1}\) voneinander abhängig sind (\(\mu=1,\ldots,m-1\)). Er beweist dann den Hauptsatz, daß \[ \sum_{\mu=1}^{m-1} [a_{\mu}, a_{\mu+1}]=[a_1,a_1\cup a_m]+[a_1\cup a_m,a_m]= [a_1,a_1\cap a_m]+[a_1\cap a_m,a_m]. \]
Auf Grund dieses Satzes kann er das Symbol \([a, b]\) für zwei beliebige Elemente \(a\) und \(b\) definieren, indem er setzt: \[ [a,b]=\sum_{\mu=1}^{m-1}[a_\mu,a_{\mu+1}], \] wo \(a_1,\ldots, a_m\) eine \(a\) und \(b\) verbindende Brücke ist. Dann gilt der Satz: \[ [a, b] + [b, c] = [a, c]. \] Indem \(K(a)\) die Menge aller Elemente \(x\) bedeutet, für welche \([x, a] = [a, x] = 0\) ist, zeigt Verf., daß \(K(a)\) und \(K(b)\) entweder identisch oder elementfremd sind, so daß der ganze Verband die Vereinigungsmenge dieser Klassen \(K (a)\), \(K(b),\ldots\) ist. (II.)

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References:
[1] Vergl. Grundzüge der Theorie der Verbände. Math. Annalen111 (1935), S. 596–621. Auf diese Arbeit wird unter der Bezeichnung [Verb. 2] verwiesen. – Das Literaturverzeichnis zur Theorie der Verbände ist ferner durch die folgenden Arbeiten von G. Birkhoff zu erganzen: [2] Applications of lattice algebra. Proceedings of the Cambr. Phil. Soc.30 (1934), S. 115–122; [3] On the lattice theory of ideals. Bulletin of the Am. Math. Soc.40 (1934), S. 613–619. Ich benutze die Gelegenheit, um Herrn P. Bernays, der das Manuskript der vorliegenden Arbeit eingesehen und mich auf einige Kürzungsmöglichkeiten aufmerksam gemacht hat, meinen besten Dank auszusprechen.
[2] Der Begriff der Kette geht auf Dedekind zurück; vergl. Dedekind [W. XXX], S. 253 u. Birkhoff [1], S. 445.
[3] Gleichendige Ketten nennt Dedekind äquivalent.
[4] Die Elemente (1) brauchen nicht alle voneinander verschieden zu sein.
[5] Vgl. Dedekind [W. XXX], S. 265ff.; ferner Birkhoff [1], S. 446 u. [2], S. 115ff. Man beachte, daß, während der relative Rang eine ganze Zahl ist, die insbesondere auch negativ sein kann, der aufe bezogene Rang eine im wesentlichen positive ganze Zahl ist.
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