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Über arithmetische Eigenschaften analytischer Funktionen. (German) JFM 61.1136.01

Proefschrift Groningen. X + 122 + IV blz. Amsterdam, Noordhollandsche Uitgeversmaatschappij (1935).
Verf. betrachtet Potenzreihen \(\sum\limits_{h=0}^{\infty} \alpha_h x^h\) mit rationalen bzw. algebraischen Koeffizienten, welche zu bestimmten Funktionenklassen gehörende Funktionen darstellen. In Verallgemeinerung eines Hurwitzschen und eines Perronschen Satzes wird zunächst bewiesen:
Satz 2*: Sei \(f (x)\) Element einer analytischen Funktion, die der Hurwitzschen Differentialgleichung \[ \sum_{\mu=0}^{m} p_{\mu}(x)f^{(\mu)}(x)=0 \] genügt, wo die \(p_{\mu} (x)\) Polynome höchstens vom Grade \(g \geqq 0\) sind. Sei \(a\) rational mit \(p_m(a) \neq 0\) und \(R\) \((0 \leqq R \leqq m)\) der Rang des Systems \(\left(f(a), f' (a),\ldots, f^{(m-1)}(a)\right)\) über dem rationalen Zahlkörper. Ist dann \(f (x)\) kein Polynom, so gibt es ein \(c > 0\) mit \[ c^{h+1} (h!)^{R-1} \underset{\sigma=0,\cdots, m+g-1}{\text{Max}} \left|f^{(h+\sigma)}(a)\right|\geqq 1 \qquad (h=0,1,\ldots). \] Für etwas speziellere Funktionen wird dieser Satz weiter verschärft.
In Verallgemeinerung eines Eisensteinschen Satzes wird gezeigt:
Satz 10: Stellt die Potenzreihe \(\sum\limits_{h=0}^{\infty} \alpha_h x^h\) mit algebraischen Koeffizienten \(\alpha_h\) eine algebraische Funktion dar, so gibt es ein \(c > 0\) mit \[ \text{entweder } \quad \alpha_h = 0\quad \text{ oder }\quad |\alpha_h|\geqq c^{-h}\quad \text{ für } \quad h = 1, 2,\ldots. \] Schließlich wird ein von Tschebyscheff ohne Beweis angegebener Satz über elementare Funktionen für “normale” (d. h. im Nullpunkt höchstens algebraisch singuläre) elementare Funktionen bewiesen:
Satz 15: Ist \(\sum\limits_{h=0}^{\infty} \alpha_h x^h\) mit rationalen \(\alpha_h\) Element einer normalen elementaren Funktion, so gibt es ein \(c> 0\), so daß für jeden Primteiler \(p_h\) des genauen Nenners von \(\alpha_h\) \[ p_h \leqq c\,h,\quad h=1,2,\ldots, \] gilt. (III 8.)