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On the structure of abstract algebras. (English) JFM 61.1026.07
Diese Abhandlung enthält eine Reihe von äußerst allgemeinen Sätzen über “Algebren”, wobei “Algebra” hier jedes System von Elementen mit irgendwelchen zugehörigen Operationen bedeutet. Die ersten Theoreme betreffen Gruppen und “lattices”; dabei bedeutet “lattice” (dasselbe wie “Verband” bei Fritz Klein, Math. Z. 39 (1934), 227-239; JFM 60.0092.*) ein abgeschlossenes System in bezug auf Operationen \(\smile\) und \(\frown\), die kommutativ und assoziativ sind, während außerdem \(a \frown (a \smile b) = a \smile (a \frown b) = a\) gilt. Ebenso wie die Automorphismen jeder Algebra nach Theorem 1 eine Gruppe bilden und andererseits jede Gruppe als die Automorphismengruppe einer Algebra darstellbar ist, bilden nach Theorem 2 die Unteralgebren einer Algebra einen Verband, während andererseits jeder Verband als die Menge aller Unteralgebren einer Algebra darstellbar ist. Weiter bespricht Verf. die Darstellung der Verbände durch Graphen; Operationen zur Erzeugung größerer Algebren aus kleineren, wie z. B. die Bildung des direkten Produktes, werden definiert. Nachdem er die Algebren nach der Zahl der Operanden in den Operationen in Spezies eingeteilt hat, definiert er den Begriff “Familie von Algebren” als die Menge aller Algebren, welche aus einer gegebenen Menge von solchen aus einer gewissen Spezies dadurch gebildet werden, daß man alle Unteralgebren, homomorphen Bilder und direkten Produkte bildet. Entsprechend wird der Begriff “Familie von Gesetzen” definiert als die Menge der Gesetze (d. h. allgemeingültige Gleichungen), welche aus einer gegebenen Menge von solchen ableitbar sind. Theorem 8 sagt dann aus, daß die Algebrafamilien einer Spezies einen Verband bilden und ebenso die Familien der Gleichungen zwischen Funktionen dieser Spezies. Die Theoreme 9 und 10 drücken ein Entsprechen aus zwischen den Algebren einerseits und den darin gültigen Gleichungen andererseits. Eine spezielle Klasse von Verbänden, “modular lattices”, wird dann besonders studiert; darunter bilden wieder die distributiven Verbände, für welche \(a \frown (b \smile c) = (a \frown b) \smile (a \frown c)\) gilt, eine besonders bemerkenswerte Klasse.
Danach betrachtet Verf. die Äquivalenzenverbände, welche auf Grund der reflexiven, symmetrischen und transitiven Relationen (Äquivalenzen) dadurch gebildet werden, daß \(x \frown y\) das logische Produkt der Relationen \(x\) und \(y\) bedeutet, während \(x\smile y\) der Durchschnitt aller Relationen \(z\) ist, für welche die Implikation \((axb) \lor (ayb) \to (azb)\) gilt. Viele Sätze können hier bewiesen werden; z. B. sagt Theorem 23 aus, daß die Automorphismen des Verbandes aller Äquivalenzrelationen einer Menge \(C\) durch die Permutation der Elemente von \(C\) geliefert werden. Theorem 27 entscheidet eine von Fritz Klein l. c. gestellte Frage, nämlich, ob es einen aus drei Elementen erzeugten unendlichen Verband gibt. Verf. zeigt durch ein Beispiel, nämlich eine gewisse Äquivalenzrelation, die Existenz solcher Verbände.
Zum Schluß werden die topologischen Verbände betrachtet, indem zuerst eine topologische Algebra definiert wird als eine, welche einen “Konvergenzoperator” enthält. Dabei hat ein Konvergenzoperator \(f_L\) eine abzählbare Reihe von Operanden, und ist \(f_L\left(\left\{x_k^i\right\}\right) = x_i\) für \(i = 1, 2, \ldots, n\) und \(k = 1, 2, \ldots\), so ist \[ f_L\left(\left\{f_i(x_k', \ldots,x_k^n)\right\}\right) = f_i(x_1,\ldots,x_n). \] Nach dieser Definition bekommt man topologische Verbände, wenn man die Menge \(\overline LA\) aller Unteralgebren einer Algebra \(A\) betrachtet und einen Konvergenzoperator einführt mittels oberer und unterer Grenzen der Elemente von \(\overline LA\) ähnlich wie in der Analysis. Verf. zeigt, daß man hierdurch einen Konvergenzraum im Sinne H. Knesers bekommt (Math. Z. 25 (1926), 362-372; F. d. M. 52, 573 (JFM 52.0573.*)). Die Arbeit schließt mit der Angabe einiger ungelöster Probleme.

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