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Ensembles ordonnés et ramifiés. (French) JFM 61.0980.01
Eine Menge \(M\), in der eine antisymmetrische, transitive Ordnungsrelation \(<\) (“vor”) definiert ist, heißt verzweigt, wenn je zwei Vorgänger eines und desselben Elements miteinander vergleichbar sind. Wenn zudem je zwei Nachfolger eines und desselben Elements vergleichbar sind, so heißt \(M\) ausgeartet verzweigt. Verf. entwickelt ausführlich die Theorie der verzweigten Mengen, insbesondere der verzweigten Tafeln (d. h. solcher verzweigter Mengen, bei denen jede geordnete Teilmenge wohlgeordnet ist), durch welche die Theorien der Kardinal- und Ordinalzahlen in eine zusammengefaßt werden, und die daher für die Behandlung von Problemen, in die diese Zahlenarten gleichzeitig eingehen, besonders geeignet erscheint. So lassen sich für die Bejahung des Suslinschen Problems (Ist jede geordnete stetige Menge mit der Eigenschaft, daß jedes System von paarweise fremden Teilintervallen höchstens abzählbar ist, vom Typus des linearen Kontinuums?) hinreichende Hypothesen formulieren: z. B: Die obere Grenze der Mächtigkeiten der ausgeartet verzweigten Teilmengen einer verzweigten Tafel wird angenommen (Postulat der Verzweigung). Für dieses Postulat werden elf weitere gleichwertige angegeben. Diese lassen sich beweisen unter der Annahme der Richtigkeit der Cantorschen Hypothese (zwischen \(\aleph_{\nu}\) und \(2^{\aleph_{\nu}}\) liegt keine weitere Mächtigkeit; \(\nu =0, \, 1, \ldots\)) und der folgenden: Für jede unendliche verzweigte Tafel \(T\) ist die Mächtigkeit des Systems aller ausgeartet verzweigten Teilmengen größer als die von \(T\) selbst. Daneben werden noch eine Reihe ähnlicher Probleme und Sätze aufgestellt, unter anderem solche, die sich auf stetige geordnete Mengen und auf die Charakterisierung des linearen Kontinuums beziehen. (IV 3 A.)

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Full Text: EuDML