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On the foundation of abstract algebra. I. (English) JFM 61.0111.09
In zahlreichen Gebieten der modernen Algebra treten Strukturuntersuchungen auf, die an sich rein mengentheoretischer Natur sind. Daher unternimmt es Verf., diese mengentheoretischen Betrachtungen in abstrakter Form durchzuführen, um auf diese Weise die enge Beziehung und Ähnlichkeit gewisser algebraischer Untersuchungen besonders klar herauszustellen.
In einem System \(\varSigma \) mathematischer Elemente \(A, B, C, \ldots \) ist eine Enthaltenseinsbeziehung \(A > B\) (\(A\) ist in \(B\) enthalten) zwischen den Elementen erklärt durch das folgende Axiom:
\((\alpha _1)\qquad\qquad\qquad A>A;\quad \) aus \(\quad A>B>C \quad \) folgt  \(A>C\).
Damit kann Gleichheit durch \(A > B\) und \(B > A\) einwandfrei erklärt werden. Weiter werden Durchschnitt und Vereinigung zweier Elemente erklärt durch die Axiome:
\((\alpha _2)\) Zu jedem Paar \(A, B\in \varSigma \) gibt es ein Element \(D = (A, B)\in\varSigma \), sodaß \[ D\leqq A, \;\;D\leqq B \] und für jedes \(D_1\), das die gleichen Eigenschaften besitzt, \(D_1\leqq D\) gilt.
\((\alpha _3)\) Zu jedem Paar \(A, B\in \varSigma \) gibt es ein Element \(V = [A, B]\in\bar {\varSigma }\), sodaß \[ V\geqq A, \;\;V\geqq B \] und für jedes \(V_1\), das die gleichen Eigenschaften besitzt, \(V_1\geqq V\) gilt. Ein System, das \(\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\) genügt, nennt Verf. eine Struktur, ein Teilsystem, das für sich diesen Axiomen genügt, eine Teilstruktur. Offenbar bilden die Elemente \(S\), für die \(A\geqq S\geqq B\), eine Teilstruktur zwischen \(A\) und \(B\), die mit \(A/B\) bezeichnet wird.
Ein Element \(O\), das \[ [A,O]=O\;\;\text{für jedes} \;\;A\in \varSigma \] genügt, heißt Allelement, ein Element \(E\), das \[ (A,E)=E\;\;\text{für jedes} \;\;A\in \varSigma \] genügt, heißt Einselement. Wenn sie existieren, sind sie eindeutig bestimmt.
Durch zusätzliche Axiome werden nun weiterhin die algebraisch wichtigen Strukturen gekennzeichnet.
Nennt man eine Struktur \(\varSigma \) eine Kette, wenn für irgend zwei Elemente \(A, B \in \varSigma \) eine der Beziehungen \(A< B\), \(A= B\), \(A> B\) besteht, so treten als vor allem wichtige Zusatzaxiome die folgenden Endlichkeitsbedingungen auf:
\((\beta _1)\) Die Endlichkeitsbedingung für aufsteigende Ketten: Eine Folge \[ A=A_0>A_1>A_2>\cdots \] mit \(A_\varkappa > B\) besteht nur aus endlich vielen Gliedern.
\((\beta _2)\) Die Endlichkeitsbedingung für absteigende Ketten: Eine Folge \[ B=B_0<B_1<B_2<\cdots \] mit \(B_\varkappa < A\) besteht nur aus endlich vielen Gliedern, Axiome, die bekanntlich in der allgemeinen Idealtheorie eine fundamentale Rolle spielen. Es treten auch andere Zusatzaxiome auf, die andere wichtige algebraische Bereiche charakterisieren:
Dedekindsche Axiom: Aus der Beziehung \(A < C < [A, B]\) folgt stets \(C=[A,(B,C)]\). Arithmetisches Axiom: Es gilt stets \((A, [B, C]) = [(A, B), (A, C)]\). Definiert man Homomorphismus, Isomorphismus von Strukturen wie üblich, so hat man Homomorphismus in Beziehung auf den Durchschnitt bzw. in Beziehung auf die Vereinigung bzw. in Beziehung auf beide zu unterscheiden. Alle Homomorphismen erhalten die Enthaltenseinsbeziehung. In Dedekindschen Strukturen gilt der Satz: \(A/(A, B)\) ist isomorph zu \([A, B]/B\) in beiden Beziehungen. Nennt man daher ein Element \(A/B\) prim über \(B\), wenn kein Element zwischen \(A\), \(B\) liegt, und eine Kette \(A - B\) von bzw. primen Elementen Hauptreihe, so gilt als Hauptsatz in Dedekindschen Strukturen der Satz, daß, falls überhaupt zwischen \(A\) und \(B\) eine endliche Hauptreihe existiert, alle Hauptreihen von gleicher Länge sind und auseinander durch Transpositionen hervorgehen. Man kann nun zu einer Struktur eine Quotientstruktur definieren, indem man ein formales Zeichen \(A/B\) durch die Regel \[ \begin{aligned} &(A/B,\,A_1/B_1) = (A,A_1)/(B,B_1),\\ &\;[A/B,\,A_1/B_1] = [A,A_1]/[B,B_1] \end{aligned} \] definitorisch festlegt. Das System aller A/B bildet wieder eine Struktur \(\bar {\varSigma }\) Quotientstruktur von \(\varSigma \).
Definiert man nun ein Produkt (\(\times \)) durch \[ A/C=A/B\times B/C, \] so erhält man eine Darstellung \[ \mathfrak A=A/B=\mathfrak P_1\times \mathfrak P_2 \times \cdots \times \mathfrak P_r \] für eine endliche Hauptreihe mit primen Quotienten \(\mathfrak P\), und damit in Dedekindschen Strukturen für endliche Hauptreihen den Jordan-Holderschen Satz. Allgemeiner erhält man in Dedekindschen Strukturen den Schreierschen Verfeinerungssatz. Man erkennt wohl aus dieser kurzen Angabe den wesentlichen Sinn dieser axiomatischen Untersuchungen und ihrer Weiterungen, auf die im Einzelnen hier nicht eingegangen werden kann. (II.)

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