×

zbMATH — the first resource for mathematics

Sur la topologie de certains espaces homogènes. (French) JFM 60.1223.05
E. Cartan hat unter den Riemannschen Räumen mit einer transitiven Isometriegruppe diejenigen ausgezeichnet, in denen die geodätische Spiegelung an einem Punkt eine Isometrie ist; sie besitzen allerlei schöne Eigenschaften, insbesondere lassen sich, wenn sie geschlossen sind, ihre Bettischen Zahlen aus der Zahl der Invarianten ihrer Isotropiegruppe berechnen (1929; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 371). Verf. interessiert sich speziell für solche unter diesen Räumen, die sich als komplexe algebraische Mannigfaltigkeiten darstellen lassen. Er berechnet nämlich die Bettischen Zahlen außer nach der Cartanschen Methode auch noch direkt; dabei kommt er zu sehr einfachen Homologiebasen.
Nachdem er erst über die Cartansche Methode referiert und dabei auch die Fundamentalgruppe berücksichtigt hat, betrachtet er die Graßmannschen Mannigfaltigkeiten. Die direkte Methode liefert als \(2s\)-te Homologiebasis die “Schubertschen Fundamentalmannigfaltigkeiten” \([a_0,\dots, a_k]\) mit \(a_0 + \cdots + a_k - \frac {k(k+1)}{2} \leq s\). Dabei bedeute \([l]\) eine \(l\)-dimensionale Ebene des projektiven \(R_n\) und (für \(0 \leq a_0 < \dots < a_k \leq n\), \([a_0] < \dots < [a_k] < [n]\)) \([a_0,\dots, a_k]\) die Gesamtheit der \([k]\), die in \([a_k]\) liegen und mit \([a_i]\) einen mindestens \(i\)-dimensionalen Schnitt haben. Weiter untersucht Verf. den Schnitt von Homologieklassen komplementärer Dimensionen und löst so exakt das Schubertsche Charakteristikenproblem.
Analog ergeben sich die Bettischen Zahlen der komplexen nichtentarteten Quadrik, ferner des Analogons der \^^MGraßmannschen Mannigfaltigkeiten bei der Quadrik, schließlich der Mannigfaltigkeit der \(p\)-dimensionalen Ebenen eines nichtentarteten linearen Komplexes des \((2p+1)\)-dimensionalen projektiven Raumes.
Verf. dehnt die direkte Methode aus zur Untersuchung von Mannigfaltigkeiten, deren erzeugendes Element aus mehreren inzidenten linearen Gebilden zusammengesetzt ist. (V 5E, V 6C.)

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI EuDML