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The Riemann multiple-space and algebroid functions. (English) JFM 60.1024.02
Verf. definieren in Analogie zu den Riemannschen Flächen der klassischen Funktionentheorie die Riemannschen Räume für mehrdeutige Funktionen von \(n\) komplexen Veränderlichen und untersuchen ihre topologischen Eigenschaften. Es sei \(F(w, z_1, z_2, \dots, z_n)\) eine in Bereich \(\mathfrak {B}\) des \(R_{2n+2}\) reguläre eindeutige Funktion, die irgendwo in \(\mathfrak {B}\) verschwindet. Dabei soll \(F\) irreduzibel sein, und wenn man sie längs irgend eines aus \(\mathfrak {B}\) herausführenden Weges, der von einem Punkte \(P\) aus \(\mathfrak {B}\) mit \(F(P)=0\) ausgeht und wieder in \(P\) endet, analytisch fortsetzt, so soll das durch die Fortsetzung erhaltene Funktionselement, wenn es in \(P\) verschwindet, dort mit dem Ausgangselement identisch sein. Dann läßt sich die Punktmenge \(F=0\) in der Umgebung eines jeden ihrer Punkte in \(\mathfrak {B}\) darstellen durch \(\Pi F_i=0\), wobei die (endlich vielen) \(F_i\) irreduzible Pseudopolynome sind, von denen keine zwei in der Umgebung dieses Punktes äquivalent in bezug auf Division sind.
Durchläuft jetzt \(P\) alle Punkte von \(F=0\) in \(\mathfrak {B}\), so werden durch \((P,F_i)\) die Punkte des zu \(F=0\) in \(\mathfrak {B}\) gehörigen Riemannschen Raumes definiert. Sie bilden einen Hausdorffschen Raum, wenn eine Umgebung von \((P,F_i)\) definiert wird als Punktmenge \((Q,F_j)\), wo \(Q\) alle Punkte einer \((2n+2)\)-dimensionalen Umgebung von \(P\) mit \(F(Q)=0\) durchäuft, und wobei ferner in der Umgebung von \(Q\) gelten muß: \(F_i=F_j\Phi \) (\(\Phi \) regulär in \(Q\)).
Zu jedem abgeschlossenen Teilbereich von \(\mathfrak {B}\) läßt sich nun ein Komplex \(K_{2n+2}\) finden, so daß in ihm die zu \(F=0\) gehörigen Punkte einen \(2n\)-dimensionalen Unterkomplex bilden. Es wird gezeigt, wie man aus diesem durch eine rein topologische Definition den Riemannschen Raum gewinnen kann. Dieser setzt sich dann zusammen aus einer Anzahl von Teilen, die verallgemeinerte \(2n\)-dimensionale Mannigfaltigkeiten im Sinne von Veblen (Analysis situs, 2. ed. 1931 (F. d. M. \(57_{\text{I}}\)), Kap. III, p. 95-96) bilden. Ferner wird bewiesen, daß die Gesamtheit der Punkte des Riemannschen Raumes, die dort keine einer \(2n\)-Zelle homöomorphe Umgebung besitzen, einen Unterkomplex von höchstens \((2n-4)\)-ter Dimension ausmachen.
In einigen Hilfssätzen werden notwendige und hinreichende Bedingungen dafür abgeleitet, daß ein \(n\)-Komplex eine verallgemeinerte \(n\)-Mannigfaltifkeit bildet, und insbesondere wird gezeigt, daß diese Eigenschaft topologisch invariant ist. (V 2.)
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