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A system of logistic. (English) JFM 60.0845.03
X + 204 p. Cambridge, Mass., Harvard University Press (1934).
Das System der Logistik, das uns hier geboten wird, steht in engerer Beziehung zu dem von Whitehead und Russell, indem es wie dieses die Typentheorie (in der vereinfachten Form) zugrunde legt. Es bringt aber gegenüber den “Principia Mathematica” einen bedeutenden Fortschritt, der sich nicht nur auf eine Verbesserung der Symbolik, sondern auch auf die grundlegenden Begriffe erstreckt. Vor allem ist in dem neuen System ein Gewinn an Allgemeinheit zu verzeichnen. Z. B. war es im System der “Principia Mathematica” nicht möglich, Sätze über \(n\)-stellige Relationen abzuleiten, ohne zuerst \(n\) zu spezialisieren. Hier fließen die entsprechenden Sätze über verschiedenstellige Relationen aus einer einheitlichen Quelle oder haben gar denselben symbolischenm Ausdruck. Trotz der größeren Allgemeinheit ist die Symbolik nicht komplizierter, sondern eher einfacher geworden.
Die grundlegende Operation ist die der Sequenzbildung oder “ordination”. Diese bildet aus irgendwelchen logischen Termen \(x\) und \(y\) einen neuen “\(x,y\)”, der als geordnetes Paar \((x,y)\) aufzufassen ist. Das geordnete Tripel \((x,y,z)\) wird durch \(x,(y,z)\) gegeben, usw. Aus zwingenden Gründen ist die Operation der “ordination” nicht assoziativ. Eine zweistellige Relation erscheint bei Verf. als eine Klasse von Sequenzen der Form \(x,y,\) eine dreistellige als Klasse von Sequenzen der Form \(x,(y,z)\) usw. Es wird also der extensionale Standpunkt eingenommen, die Aussagefunktionen der “Principia” (sonst auch wohl Prädikate genannt) stellen sich sämtlich als Klassen dar. Eine besondere Symbolik, die das Enthaltensein eines Terms in einer zugehörigen Klasse angibt, erweist sich jedoch infolge der besonderen Einführung der Aussagen als überflüssig. Diese letztere kann nicht ohne die Typenlehre verstanden werden. Haben \(x\) bzw. \(y\) den Typ \(a\) bzw. \(b\), so erzeugt die Sequenz \(x,y\) einen neuen Typ \(a \uparrow b\), der Typ der Klassen, denen \(x\) angehören kann, ist \(a!\), der Typ der Klassen, denen \(x,y\) angehören kann, \((a \uparrow b)!\). So kommt man, von irgendeinem Grundtyp ausgehend, gewissermaßen nach zwei Seiten hin zur Erzeugung neuer Typen. Eine Aussage ist nun eine Sequenz \(y,x\), wo \(y\) und \(x\) zwei Typen \(c!\) und \(c\) haben.
Außer der Operation der Sequenzbildung hat der Verf. nur noch zwei andere grundlegende Operationen. Die eine nennt er “congeneration”, sie wird, angewandt auf \(x\), durch \([x]\) bezeichnet. Sie ist nur dann sinnvoll, wenn \(x\) eine Klasse ist, und bedeutet dann die Klasse aller Klassen \(y\), von denen \(x\) eine Teilklasse ist. Die andere nennt er Abstraktion; sie wird, angewandt auf einen Term \(\mathfrak {a}(x)\), durch \(\hat {x}\mathfrak {a}(x)\) bezeichnet. Hierbei ist \(\mathfrak {a}(x)\) eine Aussage, die im allgemeinen die Variable \(x\) enthält, jedoch auch von \(x\) frei sein kann. \(\hat {x}\mathfrak {a}(x)\) ist die Klasse aller \(x\), für die die Aussage \(\mathfrak {a}(x)\) wahr ist. Bemerkenswert ist, daß die Typenlehre nur indirekt in dem Formalismus auftritt, besondere Variable für verschiedene Typen gibt es nicht. Die Festlegung des Typs der Variablen ist aus der Formel selbst zu entnehmen, jedoch wird nur die relative Höhe der Typen zueinander festgelegt, nicht der absolute Typ.
Mit den drei grundlegenden Begriffen (ordination, congeneration, abstraction) ist der Verf. imstande, die ganze Logik aufzubauen. Als Grundlage dienen dabei sechs formale Axiome und vier Grundregeln zur Ableitung neuer Formeln. Die wichtigsten Begriffe der Principia Mathematica werden nacheinander definiert und die charakteristischen Eigenschaften bewiesen. Ein besonderes Licht fällt dabei noch auf das philosophisch viel umstrittene Problem, ob zwei Aussagen, die denselben Wahrheitswerthaben, als identisch anzusehen seien.
Whitehead, der für das Buch in Vorwort geschrieben hat, bezeichnet es als einen Markstein in der Geschichte der symbolischen Logik; diesem Urteil können wir uns nur auschließen.
Besprechung: B. P. Gill, Scripta math. 4, (1936), 76-79.