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Theorie der konvexen Körper. (German) JFM 60.0673.01
Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 3, No. 1. Berlin: Julius Springer. vii, 164 S. (1934).
Den Mittelpunkt des Buches bildet die Brunn-Minkowskische Theorie, die hier für \(n\) Dimensionen mit knappen Beweisen zusammenhängend einschließlich inzwischen gewonnener Ergebnisse dargestellt wird. Alle übrigen wichtigeren Tatsachen werden um so ausführlicher und vollständiger gebracht, je näher sie den zentralen Ideen stehen. Im Literaturnachweis (fünfzehn Seiten) ist, anscheinend mit gutem Erfolg, bezüglich der Literatur seit Brunn Vollständigkeit erstrebt; aber auch alle früheren Arbeiten von Bedeutung sind wohl aufgeführt. Beachtet man ferner die zahlreichen neuen (und Abkürzungen bekannter) Beweise sowie Hinweise auf neue Fragestellungen, so kann das Buch als zuverlässiges und anregendes Lehrbuch wie auch als wertvolles Hilfsmittel der Forschung bezeichnet werden. Abgesehen von einigen Fragestellungen (z. B. Verbiegbarkeit, geschlossene geodätische Linien), die nur kurz bzw. gar nicht berührt werden, die auch nicht nur zum Bereich der konvexen Körper gehören, werden die Beziehungen zur Affingeometrie, der die Brunn-Minkowskische Theorie in wessentlichen Teilen eigentlich angehört, nicht behandelt. Zur Orientierung über den Inhalt seien einige Stichworte genannt:
1. Grundbegriffe, konvexe Mengen, Stützeigenschaften.
2. Schwerpunkte und konvexe Hülle.
3. Klassifikation der Randpunkte und Stützebenen, Polyeder, Kappen- und Tangentialkörper.
4. Darstellung durch Distanz- und Stützfunktion, polare Körper.
5. Linearkombination von Stützfunktionen und Körpern, Parallel- und homothetische Körper, konkave (konvexe) Scharen.
6. Konvergente Folgen, Auswahlsatz, Stützfunktionenraum, Approximation durch Polyeder und analytisch begrenzte Körper.
7. Volumen, Oberfläche, gemischte Volumina, Quermaß, Durchmesser, Dicke, Um- und Inkugel, Kugelschale kleinster Dicke.
8. Integraldarstellungen für die gemischten Volumina, relative Differentialgeometrie,
9. Symmetrisierungen, z. B. nach Steiner, Schwarz, erster Beweis des Brunn-Minkowskischen Satzes.
10. Extremalprobleme.
11. Satz von Brunn-Minkowski, Minkowskis Ungleichungen, mit Verschärfungen.
12. Anwendungen z. B. auf Vektorkörper, isoperimetrische Probleme.
13. Bestimmung konvexer Körper durch Krümmungsfunktionen.
14. Körper mit Mittelpunkt, Gitterpunkte in ihnen.
15. Körper konstanter Breite.
16. Kennzeichnende Eigenschaften von Kreis, Kugel, Ellipse und Ellipsoid.
17. Krümmungseigenschaften konvexer Kurven, z. B. Vierscheitelsatz, Flächen positiver Krümmung, Verbiegbarkeitsfragen.

MSC:
52-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to convex and discrete geometry