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On isolated singularities of surfaces which do not affect the conditions of adjunction. I. (English) JFM 60.0599.01
Verf. betrachtet solche isolierten singulären Punkte auf einer algebraischen Fläche \(F\) im \(R_r\), die die Eigenschaft haben, bei Projektion von \(F\) in einen \(R_3\) von einem allgemeinen \(R_{r-4}\) aus als isolierte Singularitäten erhalten zu bleiben. - Dabei ergibt sich als eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß eine isolierte singuläre Stelle einer \(F\) den adjungierten Flächen keine Bedingungen auferlegt, daß die Vielfachheit des Punktes Zwei ist und seine sämtliche Umgebungen (\(1.,2.,\dots \) Ordnung) rational sind.
Durch (birationale) Transformation werden solche Umgebungen in rationale Kurven übergeführt, die einen Kurven-“Baum” (tree) bilden; jede Kurve des Baumes hat den (virtuellen) Grad \(-2\). Es gibt nur eine kleine Zahl von Bäumen, die geeignet sind, die ganze Nachbarschaft eines mehrfachen Punktes auf einer \(F\) darzustellen. Zur Auffindung dieser wenigen Arten solcher Bäume geht Verf. von der Unterscheidung von drei Fällen aus, die sich auf die beiden folgenden - als Lösungen in Frage kommenden - reduzieren lassen: (1) Eine einzige Kette von \(s\) Kurven \(R_1,R_2,\dots,R_s\), wobei \(R_i\) seine beiden Nachbarn \(R_{i-1}\) und \(R_{i+1}\) trifft und die Kettenendkurven \(R_1\) und \(R_s\) nur je eine Nachbarkurve besitzen, d. h. die Umgebung erster Ordnung der Singularität (Doppelpunkt) bilden. - (2) Ein Baum, in dem es eine Kurve gibt, die drei andere trifft, von denen jede bezüglich eine Endkurve je einer Kette von \(n(N_1,\dots,N_n),p(P_1,\dots,P_p),q(Q_1,\dots,Qq)\) Kurven ist. Ist dann \(O\) diese Kurve, die \(N_1,P_1,Q_1\) trifft, so gibt es für den in Frage stehenden Zusammenhang nur die folgenden Fälle: Es ist entweder a) \(n=p=q=1\), oder b) \(p=q=1,n\) beliebig, oder c) das Tripel \((n,p,q)\) ist nur noch der folgenden Wertekombinationen fähig: \((2,2,1),(3,2,1),(4,2,1)\). - In jedem der angegebenen möglichen Fälle werden die zugehörigen Singularitäten noch durch ihre geometrischen Eigenschaften gekennzeichnet.

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