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Reguläre Abbildung von Flächen auf sich. (German) JFM 60.0520.01

Verf. verwendet die Methoden und Ergebnisse der vorstehend besprochenen Arbeit zur untersuchung der (überall) regulären topologischen Abbildungen von orientierbaren geschlossenen oder berandeten Flächen auf sich. Das ist möglich, weil aus der Regularität der Abbildung einer geschlossenen Fläche die Regularität der dadurch in der universellen Überlagerungsfläche induzierten Abbildung folgt. Die berandeten Flächen werden in geeigneter Weise auf Teilmengen von geschlossenen Flächen abgebildet.
Die Ergebnisse der vorstehend besprochenen Arbeit liefern sofort: Wenn eine reguläre Abbildung einer geschlossenen oriertierbaren Fläche vom Geschlecht \(p\geqq 1\) einen Fixpunkt besitzt, ist sie periodisch. Für \(p>1\) ist also nach dem Birkhoffschen Fixpunktsatz jede zur Klasse der Identität gehörige Abbildung periodisch und daher nach R. Baer jede Abbildung, die jeden Rückkehrschnitt eines kanonischen Schnittsystems homotop transformiert. Da es aber, wie Verf. zeigt, keine von der Identität verschiedene indikatrixerhaltende periodische Abbildung einer geschlossenen Fläche vom Geschlecht \(p>1\) auf sich gibt, die jeden Rückkehrschnitt homotop transformiert, gilt genauer: Jede reguläre Abbildung einer geschlossenen orientierbaren Fläche vom Geschlecht \(p>1\) auf sich, die jeden Rückkehrschnitt eines kanonischen Schnittsystems homotop transformiert, ist die Identität. Danach kann eine Gruppe von regulären Abbildungen einer geschlossenen orientierbaren Fläche vom Geschlecht \(p>1\) auf sich keine “infinitesimalen” Transformationen enthalten. Jede reguläre Abbildung einer geschlossenen orientierbaren Fläche vom Geschlecht \(p\geqq 1\) besitzt eine Potenz, die jeden Rückkehrschnitt eines kanonischen Schnittsystems homotop transformiert, also zur Klasse der Identität gehört; für \(p>1\) ist die Abbildung periodisch.
Berücksichtigt man auch von einfach geschlossenen Kurven berandete Flächen, so gilt: Jede reguläre Abbildung ist periodisch, wenn die Fläche nicht die Kugel, die Kreisscheibe, der Kreisring oder der Torus ist. Diese Ausnahmen sind aus dem entsprechenden Satz der konformen Abbildung bekannt, und in der Tat ergibt sich aus bekannten Eigenschaften, daßdie konformen Abbildungen geschlossener und berandeter orientierbarer Flächen durch die Forderung der Regularität topologisch charakterisiert sind.
Auf Grund eines Hilfssatz über die Abbildungen der Randkurven ergibt sich schließlich noch: Eine Gruppe von regulären Abbildungen einer (von mindestens einer einfach geschlossenen Kurve) berandeten orientierbaren Fläche vom Geschlecht \(p\) auf sich ist stets endlich, wenn die Fläche nicht die Kreisscheibe oder der Kreisring ist.
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