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Les espaces métriques fondés sur la notion d’aire. (French) JFM 59.1346.01
47 p. Paris, Hermann (Actualités scientifiques et industrielles 72) (1933).
Euklidischer Geometrie, Riemannscher Geometrie, Finslerscher Geometrie - ihnen allen ist derselbe Grundbegriff gemeinsam, der für alle den Ausgangspunkt bildet, der Längen- bzw. Entfernungsbegriff. Könnte man nicht von einer anderen von vornherein gegebenen Konzeption ausgehen, indem man den Flächeninhalt zum Ausgang aller weiteren geometrishen Konstruktionen nimmt, etwa im Falle einer Fläche \(z=f(x,y)\) im dreidimensionalen Raum den Ausdruck \[ d\sigma =F\Big ( x,y,z,\frac {\partial z}{\partial x}, \frac {\partial z}{\partial y}\Big ) dxdy? \] Setzt man sich mit Verf. ein solches Ziel, so zeigt sich von Anbeginn als wesentlicher Unterschied gegenüber der Konstruktion von Räumen mit “euklidischem Zusammenhang” die Notwendigkeit, den Aufbau mit Hilfe von Berührungselementen, also etwa von Punkten (Zentren) und gewissen durch sie hindurchgehenden Ebenen vorzunehmen. Wählt man dann als einfachste Maßbestimmung im Zentrum \(M\) die quadratische Differentialform \[ ds^2=g_{ij}dx^idx^j, \] so sind die Koeffizienten jetzt nicht nur Ortsfunktionen, sondern hängen noch von der Orientierung des Elementes durch \(M\) ab: \[ g_{ij}=g_{ij}(x,u), \quad u_1dx^1+\cdots +u_ndx^n=0. \] Entsprechend ergibt sich für das absolute Differential eines kontravarianten Vektors \(X^i\): \[ DX^i=dX^i+X^kC_k^{ih}du_h+X^k\varGamma _{kh}^idx^h, \qquad C_k^{ih}=C_k^{ih}(x,u), \quad \varGamma _{kh}^i=\varGamma _{kh}^i(x,u). \] Verschwindet \(DX^i\), so ergibt die Forderung der Erhaltung der Vektorlänge die Relationen \[ \frac {\partial g_{ij}}{\partial u_h}=g_{ik}C_j^{kh}+g_{jk}C_i^{kh} \quad \frac {\partial g_{ij}}{\partial x_h}= g_{ik}\varGamma _{jh}^{k}+g_{jk}\varGamma _{ih}^{k}, \] analog für kovariante Komponenten \(X_i\) bzw. kontravariante \(g^{ij}\).
Geht man von Elementen \((x,y,z;p,q)\) vermöge \[ -\frac {u}{p}=-\frac {v}{q}=\frac {w}{1} \] zu solchen \((x,y,z;u,v,w)\) über, so ist \[ L(x,y,z;u,v,w)=wF\Big ( x,y,z,-\frac {u}{w},-\frac {v}{w}\Big ) \] homogen vom Grad 1 in \(u,v,w\). Die Länge \(l\) des kontravarianten Vektors \[ \frac {\partial L}{\partial u}, \quad \frac {\partial L}{\partial v}, \quad \frac {\partial L}{\partial w} \] ist durch \(\sqrt {g}\) \((g=| g_{ij}| )\) gegeben, und allgemein gilt \[ L\frac {\partial L}{\partial u^i}=gg^{ik}u_k \qquad (i,k=1,2,\dots n). \] Es kommt jetzt darauf an, die Größen \(C_{k}^{ih}, \varGamma _{kh}^i\) aus \(g_{ij}\) und seinen assoziierten Größen \(g^{ij}\) und diese letzthin aus der Grundfunktion \(L\) abzuleiten. Dazu fordert Verf. zunächst Symmetrie des Produktes \(Y_iX_kC^{kih}du_h\) in \(Y\) und \(X\) und erhält \[ C^{ijh}=C^{jih}, \qquad C^{ijh}=-\frac 12 \frac {\partial g^{ij}}{\partial u_h}. \] Weitere Forderungen (invarianter Natur) ergeben \[ gg^{ij}=\frac 12\frac {\partial ^2(L^2)}{\partial u_i\partial u_j} \quad g^{ij}=\frac 12\frac {\partial ^2(L^2)}{\partial u_i\partial u_j} \varDelta ^{\frac {1}{1-n}}, \] wo unter \(\varDelta \) die Determinante der Größen \[ a^{ij}=L\frac {\partial ^2L}{\partial u_i\partial u_j}+ \frac {\partial L}{\partial u_i}\frac {\partial L}{\partial u_j}, \] d. h. die Hessesche Kovariante der Form \(\dfrac 12L^2\) zu verstehen ist (Verf. setzt entsprechend stets reguläre Veriationsprobleme voraus). Bezeichnet man die Komponeneten des absoluten Differentials der kovarianten Komponeneten \(\dfrac {\sqrt g}{L}u_i\) des Einheitsnormalvektors zum Element \((u_i)\) mit \(\tilde w_i\), diejeinigen des absoluten Differentials seiner kontravarianten Komponeneten \(\dfrac {1}{\sqrt g}\dfrac {\partial L}{\partial u_i}\) mit \(\tilde w^i\), so ergibt sich für die Winkelmetrik \(d\varphi ^2\) in einem Punkt \[ \begin{gathered} \tilde w_i=\sqrt gd\frac {u_i}{L}, \qquad \tilde w^i=\frac {1}{\sqrt g}dL^i,\\ d\varphi ^2=\tilde w^i\tilde w_i=\frac {L^{ij}}{L}du_idu_j \qquad \Big ( L^i=\frac {\partial L}{\partial u_i}, \quad L^{ij}=\frac {\partial ^2L}{\partial u_i\partial u_j},\cdots \Big ). \end{gathered} \] Die gleichzeitige Übertragung von Zentren und Stützelementen führt auf den bemerkenswerten Vektor \(\overarrow A\): \[ A^i=-L\frac {\partial \dfrac {1}{\sqrt g}}{\partial u_i}. \] Konstruiert man aus \(n\) beliebigen Vektoren ein “Parallelepiped”, so ist dessen Volumendilatationskoeffizient durch das Skalarprodukt \(\overarrow \varOmega \cdot \overarrow A\) gegeben, wenn die kontravarianten Komponenten der \(n\) Vektoren festbleiben, ihr gemeinsames Stützelement jedoch der infinitesimalen Drehung \(\overarrow {\varOmega }\) um sein Zentrum unterworfen wird. Räume mit \(\overarrow A=0\) sind durch Unabhängikeit der Hesseschen Kovariante \(\varDelta \) von \(u_i\) charakterisiert. Eienen weiteren Spezialfall bilden innerhalb der Klasse \(\overarrow A=0\) die Riemannschen Räume, auf welchen der Tensor \[ A^{ijk}=\frac {L}{\sqrt g}C^{ijk}=g^{ij}A^k- \frac {L}{4g^{\frac 32}} \frac {\partial ^3(L^2)}{\partial u_i\partial u_j\partial u_k} \] identisch verschwindet. Die Verjüngungen von \(A^{ijk}\) ergeben \[ A_k^{ik}=(2-n)A^i, \qquad A_k^{ki}=A^i. \] Zur vollständigen Bestimmung des euklidischen Zusammenhanges bedarf es noch einer weiteren Determinierung der \({\varGamma }_{kh}^i\).
Bekanntlich führt die Forderung “geschlossener Zykel”, d. h. Abbilder infinitesimaler Parallelumläufe von einem Zentrum \(M\) zurück zu diesem auf einen kartesischen Bildraum, in Riemannschen Räumen auf die Symmetrie \(\varGamma _{kh}^i=\varGamma _{hk}^i\). Dieselbe Forderung ergibt für die in Rede stehenden metrischen Räume \[ T_{il}^j\equiv \varGamma _{il}^j+C_i^{jh}u_k\varGamma _{hl}^k- (\varGamma _{li}^i+C_l^{jh}u_k\varGamma _{hi}^k)=0. \] Damit im zusammenhang gewinnt Verf. noch den symmetrischen Tensor \[ H^{ij}=g^{ij}+A_kA^{kij}=g^{ij}+A^iA^j-\frac {L}{4g^{\frac 38}}A_k \frac {\partial ^3(L^2)}{\partial u_i\partial u_j\partial u_k}. \] Verschwindet dessen Diskriminante \(| H^{ij}| \), so nennt Verf. den entsprechenden Raum singulär, insbesondere totalsingulär, wenn die Matrix \(\| H^{ij}\| \) von Rang 1 ist.
Nach dieser allgemeinen Entwicklung seiner Theorie behandelt Verf. in den weiteren Abschnitten (VII-XII) speziellere Probleme: extremale Hyperflächen, Flächentheorie in dreidimensionalen Räumen, Kurventheorie, insbesondere diejeinige geodädischer Kurven. Ferner zeigt Verf: Räume, welche Dilationen gestatten, sind durch \(\overarrow A=0\) charakterisiert.
Geben zwei Integrale \(\big (\)vom Typus \(\iint F(x,y,z,p,q)dxdy\big )\) durch eine Punkttransformation (und ihre Umkehrung) in einander über, so spricht man von Äquivalenz. Baut man auf ihnen die Geometrien zweier Räume auf, so werden diese für äquivalente Integtrale notwendig geometrisch identisch und umgekehrt: Zwischen beiden besteht dann eine Punkt- (und daher auch eine Element-) korrespondenz, vermöge welcher Metrik und euklidischer Zusammenhang der einen übergeht in Metrik und euklidischen Zusammenhang der anderen, und dasselbe gilt für allgemeine Dimensionszahlen.
Im Beweis des Dirichletschen Prinzips spielt das Integral \[ \iint (p^2+q^2)dxdy \] eine wichtige Rolle. Es gestattet die unendliche Gruppe \[ \begin{aligned} x'+iy'&=f(x+iy) \quad (f \quad \text{analytische Funktion}),\\ z'&=z+a \qquad (a \quad \text{Konstante}) \end{aligned} \] und führt auf einen singulären Raum, dem nicht mehr in eindeutiger Weise ein euklidischer Zusammenhang zugeordnet werden kann (Räume dieser Art, “harmonische Räume” mit der Grundfunktion \(L=\dfrac {u^2+v^2}{w}\), studiert Verf. in einem eigenen Abschnitt). Dagegen gestatten Integrale, die zu regulären metrischen Räumen Anlaß geben, endliche Gruppen von der Maximalparameteranzahl \(\dfrac {n(n+1)}{2}\) (in Riemannschen Fällen konstanter Krümmung). In einem Anhang werden insbesondere noch die totalsingulären Räume näher untersucht.
Besprechung: G. A.; Revista mat. hisp. amer. (2) 8 (1933), 245-246.