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On the coefficients of power series having exponential singularities. (English) JFM 59.0383.01
Verf. hat 1932 (Journal L. M. S. 7, 256-262; F. d. M. 58 (JFM 58.0306.02)) die Entwicklungskoeffizienten \(d_n\) in \[ (1-x)^{-\beta }\exp \left ( \frac {\alpha }{1-x}\right ) =\sum \limits _{n=0}^{\infty }d_nx^n \] (für \(| x| <1\)) für beliebige \(\alpha \neq 0\) und \(\beta \) und insbesondere die Entwicklung von \(d_n\) in mit Besselfunktionen behaftete Reihen und nach fallenden Potenzen von \(n^{\tfrac 12}\) untersucht. Setzt man allgemeiner bei reellem \(\varrho >0\) \[ (1-x)^{-\beta }\exp \left ( \frac {\alpha }{(1-x)^{\varrho }}\right ) =\sum \limits _{n=0}^{\infty }c_nx^n \] so lassen die \(c_n\) Entwicklungen nach Funktionen von der Form \[ \varphi (z) =\sum \limits _{l=0}^{\infty } \frac {z^l}{\varGamma (l+1)\varGamma (\varrho \lambda +\beta )} \] zu, die also die Rolle verallgemeinerter Besselfunktionen spielen und von großer Bedeutung für Partitionenprobleme sind. Verf. untersucht elementare und funktionentheoretische Eigenschaften der Funktionen \(\varphi (z)\) und das funktionentheoretische Verhalten unendlicher Reihen, die mit den \(\varphi (z)\) gebildet sind. (III 8.)

MSC:
30B10 Power series (including lacunary series) in one complex variable
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