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Untersuchungen zur Topologie der geschlossenen zweiseitigen Flächen. III. (German) JFM 58.0613.01
Fortsetzung der gleichnamigen Abhandlungen I und II (1927, 1929; F. d. M. 53, 545 (JFM 53.0545.*)-546; \(55_{\text{II}}\), 971-972). In II ist auf die Wichtigkeit der Frage hingewiesen worden: Gibt es Automorphismen, für welche alle Potenzen fixpunktfreie Abbildungen des Randkreises bewirken, m. a. W: Gibt es Fixpunktklassen, die bei beliebiger Iterierung der Abbildung positiven Index (also den Index + 1) haben? Diese Frage wird jetzt verneint, und es wird sogar die Existenz einer solchen, nur vom Geschlecht der Fläche abhängigen, Schranke \(n\) nachgewiesen, daß der Index spätestens bei der \(n\)-ten Iterierung \(\leq 0\) wird. Die Aufmerksamkeit wird dann in natürlicher Weise auf die Abbildungsklassen endlicher Ordnung gelenkt, also auf diejenigen, von denen eine Potenz die Klasse der Identität ist. Die Frage, ob jede solche Klasse auch eine Abbildung endlicher Ordnung enthält, bleibt zwar unentschieden, jedoch wird durch eine Reihe von Beispielen die Vermutung nahegelegt, daß dem so sei. Hat man eine Abbildung endlicher Ordnung (periodische Abbildung), so kann man sie - nach einem Satz von Brouwer - zu den Blättervertauschungen einer Riemannschen Fläche in Beziehung setzen, und die bekannte Hurwitzsche Anzahlrelation wird anwendbar; aber auch unabhängig von der Antwort auf die obige Frage wird gezeigt, wie man aus der Alexanderschen Fixpunktformel die Hurwitzsche Formel als Relation zwischen gewissen gruppentheoretisch definierten Anzahlen erhalten kann. Die Haupthilfsmittel für die Untersuchung der Klassen endlicher Ordnung sind zwei algebraische Begriffe: Erstens die Gruppe \(T\) aller Transformationen \(f_nt^m\), wobei \(f_n\) die Gruppe \(F\) der Decktransformationen, \(m\) alle ganzen Zahlen durchläuft und \(t\) dieselbe Bedeutung hat wie in II; sie läßt sich als Abbildungsgruppe des Randkreises auffassen; sie enthält \(F\) als Normalteiler; die Faktorgruppe \(T/F\) ist zyklisch, und die Klassen endlicher Ordnung sind durch die Endlichkeit von \(T/F\) charakterisiert. Das zweite algebraische Hilfsmittel ist das charakteristische Polynom der linearen Substitution \(\Gamma \), welche die Abbildung in den Exponentensummen eines kanonischen Erzeugendensystems, also in einer Homologiebasis, bewirkt.

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References:
[1] Untersuchungen zur Topologie der geschlossenen zweiseitigen Flächen, I, Acta math. B. 50 S. 189–358 und II, Acta math. B. 53 S. 1–76. Diese beiden Abhandlungen werden im Text mit I bezw. II und der Paragraphen- oder Seitenzahl zitiert.
[2] Vgl. meine Abhandlung: ”Om topologiske Afbildninger af en Jordankurve paa sig selv”, Matematisk Tidsskrift B, 1928.
[3] H. Kneser: ”Reguläre Kurvenscharen auf den Ringflächen”, Math. Ann. 91, S. 142–144. Der Satz hängt mit Untersuchungen vonH. Poincare, E.E. Levi undP. Bohl zusammen. Eine ausführliche Darstellung desKneserschen Beweises findet man in meiner obengenannten Abhandlung. · JFM 50.0371.03
[4] Ein Beweis hierfür wird am Schluss dieses Paragraphen nachgetragen.
[5] siehe z. B. die französische Ausgabe der Enzyklopädie I, 2, 4, S. 482.
[6] Palermo Rend. 18 (1904), S. 64.
[7] Der BuchstabeT bedeutet nun also nicht mehr die Gruppe allerT-Funktionen, wie in I, 21, sondern die Gruppe derjenigenT-Funktionen, die über einer gegebenen Flächenabbildung \(\tau\) und ihren Potenzen liegen.
[8] SieheW. Scherrer: ”Über periodische Transformationen von Flächen”, Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich, Bd. 70 (1925). · JFM 51.0449.02
[9] M. Dehn, Über die Topologie des dreidimensionalen Raumes, Math. Ann. 69, § I. · JFM 41.0543.01
[10] L. E. J. Brouwer, Über topologische Involutionen, Amsterdam Proceedings, Vol. XXI.
[11] Zur Frage der unverzweigten Überlagerungsflächen und ihrem Zusammenhang mit den Untergruppen von endlichem Index der Fundamentalgruppe der Grundfläche vergleiche man auchIngebrigt Johansson: Topologische Untersuchungen über unverzweigte Überlagerungsflächen. Norsk Vid. Ak. Skr. Mat. Naturv. Kl. 1931, insbesondere S. 57.
[12] Dies letzte Beispiel entspricht der die Indikatrix erhaltenden Abbildung im § 2 meiner Arbeit: ”Über fixpunktfreie topologische Abbildungen geschlossener Flächen”, Math. Ann. 81 (1920) S. 94. · JFM 47.0527.02
[13] L. E. J. Brouwer: Amsterdam Proceedings, Vol. XXI, No. 5, 9 u. 10 (1918–1919) und Comptes rendus (Paris), t. 168, pg. 677 und pg. 845 (1919) und t 171, pg. 89 (1920).
[14] W. Scherrer: ”Über topologische Involutionen” und ”Über periodische Transformationen von Flächen”. Vierteljahrschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich, Bd. 70 (1925). · JFM 51.0449.02
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