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Über die Perioden elliptischer Funktionen. (German) JFM 58.0395.01
Es seien \(\omega _1, \omega _2\) die Perioden der elliptischen \(\mathfrak {p}\)-Funktion, \(g_2,g_3\) ihre beiden Invarianten. Dann beweist Verf. daß nicht alle vier Größen \(\omega _1, \omega _2, g_2, g_3\) algebraische Zahlen sein können. Insbesondere ist somit das Verhältnis des Umfanges der Lemniskate zu ihrem Durchmesser, nämlich \(\int _{-1}^{+1} \frac {dx}{\sqrt {1-x^4}}\) transzendent. Zum Beweise verwendet Verf. die Gelfondsche Methode der verallgemeinerten Newtonschen Interpolationsformel. Sind \(x_1, \dots, x_n\) Punkte in Innern des einfachzusammenhängenden, von einer rektifizierbaren Kurve \(C\) begrenzten Bereiches, in welchem \(f(x)\) regulär ist, so gilt: \[ \begin{gathered} f(x)=a_0 +a_1(x-x_1)+\dots +a_{n-1} (x-x_1)(x-x_2) \dots (x-x_{n-1})+\\ (x-x_1) \dots (x-x_n) R_n (x), \end{gathered} \] wo \(R_n (x)\) im Bereiche ebenfalls regulär ist. Die \(a\) sind konstant und lassen sich durch die Differentialquotienten von \(f(x)\) an den Stellen \(x_1\) bis \(x_n\) darstellen. Nun wachsen die Nenner der Koeffizienten der Reihe von \(\mathfrak {p} (z)\) weniger als \(\gamma ^{n\log ^2 n}\). Man nimmt \((2N+1)^2\) zum Nullpunkt symmetrisch gelegene Gitterpunkte und umschließt sie mit der Kurve \(C\). Ist dann \(Q(x)\) eine ganze rationale Funktion, die an den Gitterpunkten Nullstellen zweiter Ordnung hat, so ist \(Q(x) \mathfrak {p}(x)\) in \(C\) regulär. Auf diese Funktion wendet man die obige Formel an, für die Gitterpunkte \(0, 1\omega _1, 2\omega _1, \dots, n\omega _1\) als Punkte \(x_1\) bis \(x_{n+1}\), jeden \((2N+1)^2\) mal genommen. Verf. zeigt, daß es \(a\) mit bestimmt abgeschätzten Indices gibt, die \(\neq 0\) sind. Andererseits sind diese \(a\) rationale Funktionen von \(\omega _1, \omega _2, g_2, g_3\) mit rationalen Koeffizienten, die, mit \(h\) und einer Potenz von \(\omega _1\) multipliziert, ganz mit ganzen Koeffizienten werden, wo \(h\) abgeschätzt werden kann. Sind \(\omega _1, \omega _2, g_2, g_3\) algebraische Zahlen, so ist \(a\) eine algebraische Zahl, deren Norm man ebenfalls abschätzen kann. Die beiden Abschätzungen führen für \(n=(\log (2N+1)^2)^2\) zu einem Widerspruch. (III 9.)

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Full Text: DOI Crelle EuDML