×

zbMATH — the first resource for mathematics

Eigenspannungen und Eigenspannungsquellen. (German) JFM 57.1040.01
Die vorliegende Arbeit behandelt die Eigenspannungen von einem sehr allgemeinen Standpunkte aus; ihre Betrachtungen gelten für alle Selbstspannungen mit kleiner (unendlich kleiner) Verschiebung. Die eingeprägten (durch den Herstellungsvorgang oder durch eine vorübergehende thermische Behandlung oder auch durch aktuelle Temperaturunterschiede dem Körper aufgezwungenen) Verzerrungen \[ {}^0\varepsilon_x, {}^0\varepsilon_y, {}^0\varepsilon_z, {}^0\gamma_{xy}, {}^0\gamma_{xz}, {}^0\gamma_{yz} \] bezeichnet Verf. als Eigenspannungsquellen; er weist darauf hin, daß ein ganz bestimmter Selbstspannungszustand von unendlich vielen verschiedenen Eigenspannungsquellenfeldern abgeleitet werden kann. Eins darunter ist dasjenige, welches dem Eigenspannungsfeld auf Grund des Hookeschen Gesetzes zugeordnet ist. “Zu diesem Quellensystem kann man noch, ohne an den Eigenspannungen etwas zu ändern, irgend eine Lösung der homogenen Kompatibilitätsgleichungen des Deformationstensors hinzufügen.” Eine solche lautet z. B., wie Verf. darlegt, in Polarkoordinaten: \[ \begin{gathered} \varepsilon_\varphi=Ar\cos\alpha z, \;\varepsilon_r=2\varepsilon_\varphi, \;\varepsilon_z=A\frac{r^3}b\cos\alpha z;\\ \gamma_{rz}=A\left(\frac1\alpha-2\alpha\right)\frac{r^2}2\sin\alpha z, \;\gamma_{r\varphi}=\gamma_{\varphi z}=0. \end{gathered} \] Auf Grund dieser Betrachtungsweise kann Verf. den Volterraschen Distorsionen in der Mannigfaltigkeit der von ihm betrachteten allgemeinen Selbstspannungen einen Platz anweisen. – Umgekehrt ist durch Angabe des Eigenspannungsquellensystems das Eigenspannungsfeld eindeutig bestimmt. -Ferner wird der Zusammenhang mit den Lastspannungen hergestellt; es wird nämlich gezeigt: Wenn ein Selbstspannungsfeld \(\sigma_x,\ldots\); \(\tau_{xy},\ldots\) aus einem Eigenspannungsquellenfeld \({}^0\varepsilon_x,\ldots\); \({}^0\gamma_{xy},\ldots\) entspringt, und wenn die Größen \(\sigma\), \(\tau\) in der Form \[ \sigma_x={}^0\sigma_x-{}^+\sigma_x,\ldots; \;\tau_{xy}={}^0\tau_{xy}-{}^+\tau_{xy},\ldots \] angeschrieben werden, wobei das Spannungssystem mit dem Vorindex 0 das dem Quellenfeld vermöge des Hookeschen Gesetzes formal zugeordnete System ist, dann kann das Spannungssystem mit dem Vorindex + als Lastspannungssystem aus der Massenkraftverteilung \[ X=-\frac{Em}{m+1}\left(\frac{1}{m-2}\frac{\delta\theta}{\delta x}+ \frac{\delta{}^0\varepsilon_x}{\delta x}+ \frac12\frac{\delta{}^0\gamma_{xy}}{\delta y}+\frac12 \frac{\partial{}^0\gamma_{xy}}{\partial z}\right),\ldots \] bei unbelasteter Oberfläche angesehen werden. -Aus diesem neuen Satz wird auch eine neue Begründung des an sich bereits bekannten Kriteriums für die Herstellbarkeit eines Selbstspannungszustandes durch reine Temperaturschwankungen abgeleitet. -Den Schluß bilden einige neue grundlegende Fragestellungen, mit Andeutungen über den zu deren Beantwortung einzuschlagenden Weg.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI