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The theory of approximation. (English) JFM 56.0936.01
Verf. stellt im wesentlichen Ergebnisse zusammen, die er in früheren Arbeiten veröffentlicht hatte.
Es wird die Approximation von Funktionen durch Polynome und trigonometrische Funktionen behandelt, sowie die Reihenentwicklung nach diesen untersucht. Dabei werden die Restabschätzungen explicite angegeben. Diese fallen natürlich verschieden aus, je nachdem die Funktionen von beschränkter Schwankung, stetig oder mit stetigen Ableitungen versehen sind. In diese Restabschätzungen geht der de la Vallée Poussinsche “Stetigkeitsmodul” \(\omega(\delta)\), d. h. das Maximum von \(|f(x_1)- f(x_2)|\) für \(|x_1-x_2|\leqq\delta\), ein. Die Beweismethoden sind, dem Grundgedanken nach, die klassischen.
Weiter wird die Approximation von \(f (x)\) durch ein trigonometrisches Polynom \(T_n(x)\) im Mittel untersucht, d. h. es wird der Wert von \[ \int\limits_0^{2\pi}\varrho(x)[f(x)-T_n(x)]^m\,dx \] (\(m\) positiv ganz \(\geqq2\), \(\varrho(x)\) stetig, \(\varrho(x)\geqq v>0\)) betrachtet.
Sodann wird der Unterschied von \(f (x)\) und seinem trigonometrischen Interpolationspolynom \(S_n\), d. h. demjenigen Polynom, welches an \(n\) Stellen des Intervalls \(0\leqq x\leqq2\pi\) mit \(f(x)\) übereinstimmt, untersucht. Unter geeigneten Annahmen über \(f(x)\) wird gezeigt, wie gut \(S_n(x)\) gegen \(f (x)\) konvergiert.
Das Buch schließt mit einem Kapitel über die Grundlagen der Geometrie des Funktionenraumes.
Inhaltsverzeichnis: Kap. I. Stetige Funktionen (p. 1-32): Einleitung. 1. Approximationen durch trigonometrische Summen. 2. Approximation durch Polynome. 3. Güte der Konvergenz von Fourierreihen. 4. Güte der Konvergenz von Legendreschen Reihen. Kap. II. Unstetige Funktionen; Funktionen von beschränkter Schwankung; arithmetisches Mittel (p. 33-76): Einleitung. 1. Konvergenz der Fourierreihe unter der Voraussetzung der Stetigkeit in einem Teil des Periodenintervalls. 2. Konvergenz der Fourierreihe unter der Voraussetzung der Beschränktheit der Schwankung. 3. Güte der Konvergenz der Fourierreihe unter Voraussetzungen, die die Beschränktheit der Schwankung enthalten. 4. Konvergenz des ersten arithmetischen Mittels. 6. Güte der Konvergenz des ersten arithmetischen Mittels. 6. Konvergenz Legendrescher Reihen unter der Voraussetzung der Stetigkeit in einem Teil des Intervalls. 7. Güte der Konvergenz Legendrescher Reihen unter Voraussetzungen, die die Beschränktheit der Schwankungen enthalten. Kap. III. Das Prinzip der kleinsten Quadrate und seine Verallgemeinerungen (p. 77-108): 1. Konvergenz der trigonometrischen Approximation, gemessen durch das Integral des Quadrates der Abweichung. 2. Konvergenz der trigonometrischen Approximation, gemessen durch das Integral der \(m\)-ten Potenz der Abweichung. 3. Beweis eines Existenzsatzes. 4. Approximation durch Polynome. 6. Approximation durch Polynome in einem unendlichen Intervall. Kap. IV. Trigonometrische Interpolation (p. 109-148) : 1. Grundformeln der trigonometrischen Interpolation. 2. Konvergenz und Güte der Konvergenz unter der Voraussetzung der Stetigkeit im ganzen Periodenintervall. 3. Konvergenz unter der Voraussetzung der Stetigkeit in einem Teil des Periodenintervalls. 4. Konvergenz unter der Voraussetzung der Beschränktheit der Schwankung. 5. Güte der Konvergenz unter Voraussetzungen, die die Beschränktheit der Schwankung enthalten. 6. Eine den Fejérschen Mitteln analoge Interpolationsformel. 7. Interpolation mit Hilfe von Polynomen. Kap. V. Einführung in die Geometrie des Funktionenraumes (p. 149-175): 1. Abstands- und Orthogonalitätsbegriff. 2. Der allgemeine Winkelbegriff; geometrische Deutung der Korrelationskoeffizienten. 3. Korrelationskoeffizienten bei einer beliebigen Anzahl von Variablen. 4. Die Geometrie der Verteilungsfunktionen. 5. Vektoranalysis im Funktionenraum. Index der Hauptsätze p. 176-178.
Besprechungen: S. Lefschetz; Bulletin Sc. math. (2)55 (1931), 161-162. F. Michel; Revue générale des Sc. 41 (1930); 405, 614. Radakovič; Monatshefte f. Math. 39 (1932),15-16 kursiv. G. S.; Periodico (4) 10 (1930), 321-322. A. Walther; Z. f. math. Unterricht 63 (1932), 145. Nature 126 (1930), 532-533. Philos. Magazine (7) 10 (1930), 741-742.