×

zbMATH — the first resource for mathematics

Analytische Zahlentheorie in Systemen hyperkomplexer Zahlen. (German) JFM 56.0888.02
Hamburg, Diss., 48 S. (1929).
In halbeinfachen Systemen endlichen Ranges wird für die Zetafunktionen \[ \zeta (s), \;\zeta(s,\mathfrak{K}) = \sum N\mathfrak{a}^{-s} \] über alle Rechtsideale \(\mathfrak{a}\), bzw. alle aus einer Rechtsidealklasse, nach Heckescher Methode eine Funktionalgleichung aufgestellt. Zur analytischen Behandlung muß der ganz-rationale Koeffizientenbereich zum Körper der reellen Zahlen erweitert werden, und es zeigt sich dabei als wesentlich, ob der zu den einfachen Untersystemen des erweiterten Systems gehörige Schiefkörper der reelle, der komplexe oder der Quaternionenkörper ist. Die Funktionalgleichung liefert zahlentheoretische Ergebnisse, wo die Zerlegung der Diskriminantenteiler bekannt ist, wie bei den verallgemeinerten Quaternionen, die sich von den gewöhnlichen nur durch Zahlkoeffizienten in der Multiplikationstabelle unterscheiden. Es wird eine der Dedekindschen Klassenzahlformel entsprechende Formel erhalten, die im Falle definiter Norm einfach lautet: \[ \prod\limits_{p|\Delta} (p-1) = \sum\limits_{\mathfrak{K}}\dfrac{1}{w_{\mathfrak{K}}}, \] wo \(\Delta\) die Diskriminante und \(w_\mathfrak{K}\) die (endliche) Anzahl der Einheiten in der zu \(\mathfrak{K}\) “gehörigen Maximalordnung” (vgl. die Note von M. Zorn, F. d. M. 59\(_{\text{I}}\) (1933), 212-213). Da außer in zwei Fällen immer \(w = 2, 4\) oder \(6\), kann die Klassenzahl hieraus leicht festgestellt werden. Es folgt die Durchrechnung dreier Quaternionen, wo die Klassenzahl mit der eines quadratischen Unterkörpers übereinstimmt. (III 7.)