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Eine Bemerkung über die Unzerlegbarkeit von Polynomen. (German) JFM 56.0825.05

Verf. macht darauf aufmerksam, daß in der Arbeit von Grete Hermann (Math. Ann. 95 (1926), 736-788; F. d. M. 52, 127 (JFM 52.0127.*)) bei der Herstellung der Faktorzerlegung eines Polynoms in einer unendlichen Erweiterung des Grundkörpers stillschweigend angenommen wird, daß man für jede endliche Erweiterung des Primkörpers entscheiden könne, ob ein zu ihr isomorpher Körper in dem unendlichen Erweiterungskörper existiert. Es wird gezeigt, daß aus der Existenz eines allgemeinen (in endlich vielen Schritten durchführbaren) Irreduzibilitätskriteriums sich eine Methode zur Entscheidung der Frage ergeben würde, ob es eine natürliche Zahl \(n\) gibt, der eine (beliebige) Eigenschaft \(E(n)\) zukommt. Das geschieht durch Konstruktion eines Körpers, dessen Struktur von \(E(n)\) abhängt, der jedoch explicite bekannt ist, in folgendem Sinne: Seine Elemente sind einem bekannten abzählbaren Vorrat von unterscheidbaren Symbolen entnommen, deren Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division in endlich vielen Schritten ausführbar ist. (III 5.)

Citations:

JFM 52.0127.*
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References:

[1] Math. Annalen95 (1926), S. 736–788.
[2] Bei der Bildung des Beispiels, das den wesentlichen Inhalt dieses Beweises ausmacht, hätte ich mich natürlich auch auf eine bestimmte EigenschaftE(n), etwa ein bestimmtes bis jetzt noch nicht beobachtetes Vorkommnis in der Dezimalbruchentwicklung von {\(\pi\)}, stützen können. Ich habe das vermieden, weil die Voraussetzung der Unentscheidbarkeit eines solchen Existenzproblems nicht nur völlig unberechtigt, sondern auch für den Beweis zu einem gewissen Grade unwesentlich ist. Wesentlich ist nur die Voraussetzung einer Unentscheidbarkeit überhaupt, eines ”Ignorabimus” in bezug auf Existenzprobleme der genannten Art.
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