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Sur les fonctions subharmoniques et leur rapport à la théorie du potentiel. II. (French) JFM 56.0426.01
Es sei \(E\) eine Punktmenge der Gaußschen Ebene. Eine auf jeder offenen Teilmenge \(e\) von \(E\) definierte Mengenfunktion \(\mu(e)\) heiße eine Massenfunktion, wenn: \[ \begin{aligned} & \mu(e)\geqq 0 \quad \text{ist};\tag{1}\\ & \text{aus}\quad e_1\prec e_2 \quad \mu(e_1)\leqq \mu(e_2)\quad\text{folgt}; \tag{2}\\ & \text{aus}\quad e_1\prec e_2\prec e_3\prec\cdots\to e \quad \mu(e_n)\to \mu(e) \quad\text{folgt};\tag{3} \\ & \mu(e_1)+\mu(e_2)=\mu(e_1+e_2)+\mu(e_1e_2)\quad\text{ist.}\tag{4} \end{aligned} \] Wenn man das Stieltjessche Integral geeignet definiert, so ist die Funktion \[ v(x,y)= -\int\limits_E\log\sqrt{(x-\xi)^2+(y-\eta)^2}d\mu(\xi,\eta) \tag{*} \] subharmonisch. Hiervon gilt die folgende Umkehrung: Zu jeder in einem Gebiet \(D\) subharmonischen Funktion \(u(x,y)\) gibt es eine Massenfunktion \(\mu(e)\), welche für jede mitsamt ihrer Berandung in \(D\) gelegene offene Teilmenge definiert ist, derart, daß für jede Teilmenge \(E\) dieser Art die Relation \[ u(x,y) = v(x,y)+ h(x,y) \] gilt, wobei \(h(x,y)\) harmonisch ist.
Die Funktion \[ u(x,y)=-\int\limits_D G(x,y;\xi,\eta)d\mu(\xi,\eta)+h(x,y), \] wobei \(G(x, y;\xi,\eta)\) die Greensche Funktion des Gebietes \(D\) bedeutet, ist subharmonisich. Damit diese Darstellung möglich ist, ist notwendig und hinreichend, daß in \(D\) eine harmonische Funktion existiert, welche \(\geqq u (x, y)\) ist. Die harmonische Funktion \(h(x,y)\) läßt sich durch Besteigenschaften in bezug auf \(u(x,y)\) charakterisieren. – Durch Anwendung auf \[ u(x,y)=\log|f(x+iy)| \] erhält man die Blaschkesche Erweiterung des Satzes von Vitali. Außerdem ergibt sich ein Satz von Littlewood über Randwerte einer subharmonischen Funktion im Einheitskreise.

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References:
[1] Voir pour la première partieces Acta, t. 48 (1926), p. 329–343.Cf. aussi, pour un exposé sommaire des idées développées dans le présent mémoire, ma conférence imprimée dans lesActa Univ. Franc.-Jos., Szeged, t. 2 (1925), p. 87–100.Cf. encoreN. Wiener, Laplacians and continuous linear functionals,méme journal, t. 3 (1927), p. 7–16, dont l’ordre d’idées est en relation très intime quoique nullement évidente avee le sujet développé.
[2] Cf. pour l’étude du potentiel logarithmique à ce point de vue général:G. C. Evans, Fundamental points of potential theory,The Rice Institute Pamphlet, t.7 (1920), p. 252–329.
[3] Nous désignons pare 1+e 2 (somme des ensemblese 1,e 2) la réunion des éléments appartenant au moins à l’un de ces ensembles, pare 1 e 2 (produit des ensemblese 1,e 2 la réunion des éléments compris dans chaeun des deux ensembles.
[4] Ces ensembles correspondent en substance à ce que l’on appelle ensemble normal dans la théorie générale des fonctions d’ensemble;cf.C. de la Vallée Poussin, Intégrales de Lebesgue etc. (Collection Borel), Paris, Gauthier-Villars, 1916, p. 86.
[5] Nous entendons ces expressions au sens striet, en supposant que les courbes limitant les divers anneaux n’aient ancun point en commun.
[6] Ce fait subsiste sous l’hypothèse plus générale que les domaines limités parC 1 etC 2 fassent partie respectivement de ceux limités parC’ 1 etC’ 2.
[7] Il pourra se passer queA k ne renferme aucun desA’ l , mais ce cas ne pourra se présenter que siu (Q) est subharmonique dans toute l’aire entourée parA k ; or dans ce cas on aI k .
[8] Cf.E. Levi Sopra una proprietà caratteristica delle funzione armoniche,Atli d. R. Accademia dei Lincei, t. 18 (1909), Io sem., p. 10–15.Voir encore, pour cet ordre d’idées, la contribution très intéressante deM. T. Carleman dans:G. Pólya u.G. Szegö, Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis, Berlin, Springer, 1925, t. I., p. 291.
[9] Cf. pour un artifice analogue,T. Radó, Remarque sur les fonctions subharmoniques,Comptes Rendus le l’Académie d. Sc. Paris, t. 186 (1928), p. 346–348.M. Radó se sert des carrés au lieu des cercles, ce qui revient au même autant qu’il s’agit d’une analyse des fonctions subharmoniquescontinues; mais les suites analogues à {u n } que l’on obtient de cette sorte, manquant d’être monotones, elles ne conviennent pas pour l’analyse du cas général.
[10] Observons que sous cette forme, la définition des ensembles réguliers ne dépend point de l’additivité de la fonction d’ensemble \(\mu\) (e).
[11] En réalité on a aussiu n * (x,y) * (x,y); cela vient immédiatement des considérations qui suivent.
[12] M. Bôcher, Singular points of functions which satisfy partial differential equations of the elliptic type,Bulletin American Math. Society, t. 9 (1903), p. 455–465.;E. Picard, Deux théorèmes élémentaires sur les singularités des fonctions harmoniques,Comptes Rendus de l’Academie d. Sc., Paris, t. 176 (1923), p. 933–935.Cf. encoreO. D. Kellogg, On some theorems of Bôcher concerning isolated singular points of harmonic functions,Bulletin American Math. Society, t. 32 (1926), p. 664–668. · doi:10.1090/S0002-9904-1903-01017-9
[13] L’intégrale (2) elle-même est définie de la même façon que le potentiel.
[14] C’est précisément de cette sorte que l’on définit la fonction de Green pour les domainesD de type général.
[15] L’idée de la plus petite fonction harmoniqueh(Q) supérieure à la fonction subharmoniqueu(Q) dans le domaine entierD ne devra pas être confondue avec celle de la meilleure majorante harmonique, l’allure des fonctionsu(Q) eth(Q) sur la frontière deD n’étant soumise à aucune hypothèse.
[16] W Blaschke, Eine Erweiterung des Satzes von Vitali über Folgen analytischer Funktionen,Berichte d. sächsischen Ges. d. Wiss., Math.-phys. Klasse, t. 67 (1915), p. 194–200.
[17] Cf.A. Ostrowski, Über die Bedentung der Jensenschen Formel für einige Fragen der komplexen Funktionentheorie,Acta Univ. Franc.-Jos., Szeged, t. 1 (1923), p. 80–87. Pour le cas d’un demi-plancf.R. M. Gabriel, An improved result concerning the zeros of a function regular in a half-plane,Journal of the London Math. Soc., t. 4 (1929), p. 307–309.
[18] F. Riesz, Über die Randwerte einer analytischen Funktion,Math. Zeitschrift, t. 18 (1923), p. 87–95. · JFM 49.0225.01 · doi:10.1007/BF01192397
[19] J. E. Littlewood, Mathematical notes (8); On functions subharmonic in a circle (II),Proceedings of the London Math. Soc. (2), 28 (1928), p. 383–394. · JFM 54.0516.04 · doi:10.1112/plms/s2-28.1.383
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