×

zbMATH — the first resource for mathematics

Sur les invariants intégraux de certains espaces homogènes clos et les propriétés topologiques de ces espaces. (French) JFM 56.0371.02
Einen \(n\)-dimensionalen Raum, in dem eine \(r\)-parametrige Gruppe \(\mathfrak G\) transitiv operiert, nennt Verf. homogen. Verf. untersucht die Integralinvarianten \(\int \varOmega\) äußerer Differentialformen (Cartan, Leçons sur les invariants intégraux, 1922; F. d. M. 48, 538 (JFM 48.0538.*)) \[ \varOmega = \sum A_{i_1 \dots i_p} \, dx_{i_1} \dots dx_{i_p} \] solcher Räume und ihrer Hauptgruppe \(\mathfrak G\).
Eine derartige Differentialform \(\varOmega\) läßt sich leicht in eine mit konstanten Koeffizienten überführen; man braucht nur statt der \(dx_i\) Pfaffsche Formen zu verwenden, die gegenüber \(\mathfrak G\) invariant sind. Da die Transformation von \(\mathfrak G\), die einen Punkt des Raumes in einen andern überführt, nicht notwendig eindeutig bestimmt ist, hängen diese Pfaffschen Formen noch von \(r - n\) willkürlichen Parametern ab. Diese Tatsache kann man auch so ausdrücken, daß die neue Differentialform mit konstanten Koeffizienten invariant ist gegenüber der adjungierten Gruppe der Gruppe \(\mathfrak g\) aller Transformationen von \(\mathfrak G\), die einen Punkt festlassen.
Ein homogener Raum heißt symmetrisch, wenn zu irgendeinem (also auch zu jedem) Punkt \(O\) eine Involution existiert, die außer \(O\) keinen Fixpunkt in der Nähe von \(O\) besitzt und den Charakter des Raumes nicht ändert, d. h. mit \(\mathfrak g\) vertauschbar ist. Diese Forderung ist äquivalent mit einer Eigenschaft der Gruppe \(\mathfrak G\), die bei den Untersuchungen des Verf. über halbeinfache Gruppen bereits eine bedeutende Rolle gespielt hat. Es handelt sich um die Existenz eines involutorischen Automorphismus, der \(\mathfrak g\) festläßt und (bei geeigneter Wahl der Basis) die andern Basiselemente der infinitesimalen Gruppe \(\mathfrak G\) mit \(-1\) multipliziert. In diesen symmetrischen Räumen verschwindet die äußere Ableitung jeder invarianten Differentialform \(\varOmega\); jede Integralinvariante ist das Integral eines exakten Differentialausdrucks.
Betrachtet man nun geschlossene homogene Räume mit geschlossener Hauptgruppe, so lehrt die Anwendung des Hurwitzschen. Integrationsprozesses, daß man zu jedem Integral eines exakten Differentialausdrucks eine ihm äquivalente Integralinvariante finden kann. Zwei Integrale heißen dabei äquivalent, wenn sich ihre Integranden um die äußere Ableitung einer (überall regulären) Differentialform unterscheiden. Ferner läßt sich umgekehrt schließen, daß jede null-äquivalente Integralinvariante äußere Ableitung einer Integralinvariante ist. Ist der betrachtete Raum obendrein symmetrisch, so folgt daraus, daß die Zahl der linear unabhängigen Integrale exakter Differentialausdrücke irgendeines Grades gleich der Zahl der linear unabhängigen Integralinvarianten desselben Grades ist. Weiß man nun, wie diese Zahlen mit den Bettischen Zahlen des Raumes zusammenhängen (vgl. G. de Rham, Journ. d. Math. (9) 10 (1931), 115-120; F. d. M. 57), so kann man Schlüsse auf seine topologische Struktur ziehen.
Das Poincarésche Polynom in \(t\) (Koeffizient von \(t^{n-p} =\) Zahl der linear unabhängigen Integrale exakter Differentialausdrücke vom Grade \(p\)) läßt sich nämlich (Weyl, 1925; F. d. M. 51, 319 (JFM 51.0319.*)-322) als Mittelwert der Determinante von \(A + tE\) schreiben (\(A =\) Element der adjungierten Gruppe von \(\mathfrak g\); Mittelwertbildung mit invariantem Volumelement).
Für den Fall des projektiven Raumes von \(n\) komplexen Dimensionen ergibt sich \[ t^{2n} + t^{2n-2} + \cdots + t^2 + 1 \] als Poincarésches Polynom, für den Raum der Geraden des dreidimensionalen projektiven Raumes \[ t^8 + t^6 + 2t^4 + t^2 + 1; \] ferner berechnet Verf. die Integralinvarianten.
Zu einem Gruppenraum gehört als Hauptgruppe bekanntlich die Gruppe aller Links- und Rechtsmultiplikationen. Aus den Weylschen Untersuchungen lassen sich Schlüsse auf sein Poincaréschen Polynom ziehen, z. B: Die Koeffizientensumme ist \(2^l\) [\(l =\)Rang der (geschlossenen) Ausgangsgruppe]; es ist teilbar durch \[ (t^3 - 1)(t+1)^{l-1}. \]

MathOverflow Questions:
$G$-invariant de Rham theorem
PDF BibTeX XML Cite