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Über lineare, vollstetige Funktionaloperationen. (German) JFM 56.0354.01
Zugrundegelegt wird ein Raum \(R\) vom Typus \(B\), d. h. ein linearer, normierter, vollständiger Raum. Zu einer in \(R\) definierten Funktionaloperation \(y = f (x)\) wird auf dieselbe Weise wie in der vorstehend besprochenen Arbeit von S. Mazur die konjugierte Operation \(X = F(Y)\) erklärt (die dortigen Buchstaben \(x^*\), \(y^*\), \(F\), \(F^*\) lauten hier \(X\), \(Y\), \(f\), \(F\)). – Eine Operation heißt vollstetig, wenn sie beschränkte Mengen in kompakte überführt.
Hierüber gelten zunächst folgende Sätze:
Satz I. Ist \(y= f(x)\) linear und vollstetig, so ist auch \(X=F(Y)\) in den entsprechenden Räumen linear und vollstetig.
Satz II. Ist die konjugierte Funktionaloperation \(X=F(Y)\) vollstetig, so trifft dies auch für die ursprüngliche Funktionaloperation \(y= f(x)\) zu.
Satz III. Es seien \(y= f(x), z = \varphi (y)\) zwei lineare, stetige Funktionaloperationen, \(X = F(Y)\) und \(Y= \varPhi (Z)\) ihre konjugierten. Dann ist \(X = F[\varPhi (z)]\) die konjugierte Operation zu \(z=\varphi [f(x)]\).
Das Hauptziel der Arbeit sind die drei folgenden Hauptsätze, die in Erweiterung gewisser Resultate von F. Riesz die drei Fredholmschen “determinantenfreien” Sätze über Integralgleichungen auf die allgemeinen vollstetigen Funktionaltransformationen übertragen.
Hauptsatz I. Die beiden homogenen Gleichungen \[ x + f(x) = 0, \quad Y+F(Y) = 0 \] besitzen dieselbe Anzahl von linear unabhängigen Lösungen, wenn eine der beiden Funktionaloperationen \(f(x)\) und \(F(Y)\) als vollstetig vorausgesetzt wird.
Hauptsatz II. (a) Ist \(f(x)\) vollstetig, so ist die Gleichung \[ y_0 = x +f (x) = h(x) \] für gegebenes \(y_0\) dann und nur dann lösbar, wenn \(y_0\) zu allen Nullösungen \(Y\) der konjugierten Gleichung orthogonal, d. h. wenn \(Y(y_0) = 0\) ist. Dabei wird als Nullösung jede Lösung von \[ Y + F(Y) = 0 \] bezeichnet.
(b) Ist \(F(Y)\) vollstetig, so ist die Gleichung \[ X_0 = Y+ F(Y) = H(Y) \] für gegebenes \(X_0\) dann und nur dann lösbar, wenn \(X_0\) zu allen Nullösungen \(x\) der ursprünglichen Gleichung \(y = f(x)\) orthogonal, d. h. wenn \(X_0(x) = 0\) ist. Dabei wird als Nullösung \(x\) jede Lösung von \[ x+f(x) =0 \] bezeichnet.
Hauptsalz III. Ist eine der Funktionaloperationen \(f(x)\) und \(F(Y)\) vollstetig, so sind die vier folgenden Eigenschaften einander gleichwertig:
(a) die Gleichung \(y= x + f(x)\) ist für jedes \(y\) lösbar;
(b) die Gleichung \(X= Y + F (Y)\) ist für jedes \(X\) lösbar;
(c) die Gleichung \(0 = x + f (x)\) besitzt keine “Nullösungen”;
(d) die Gleichung \(0 =Y+F(Y)\) besitzt keine “Nullösungen”.
Als Anwendung wird die erste Bandwertaufgabe der Potentialtheorie für gewisse Flächen behandelt.

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