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Über diskontinuierliche Gruppen mit einer definierenden Relation. (Der Freiheitssatz.). (German) JFM 56.0134.03
Es wird folgender für die Theorie der diskontinuierlichen Gruppen fundamentale Satz, der sogenannte “Freiheitssatz” bewiesen: Läßt sich in einer Gruppe mit einer einzigen definierenden Relation eine Erzeugende aus der Relation eliminieren, so kann das durch Transformation mit einem Element der Gruppe geschehen. Anders ausgedrückt: Kommt eine Erzeugende in der Relation und ihren sämtlichen Transformierten vor, auch wenn alle möglichen Kürzungen (Streichungen von Faktoren \(a^{-1}a\)) ausgeführt werden, so erzeugen die übrigen Erzeugenden der Gruppe eine freie Untergruppe. Zum Beweis werden einige an sich interessante Hilfssätze verwendet, die mit dem Satz über die “Existenz des freien Produktes mit vereinigten Untergruppen” (O. Schreier, 1927; F. d. M. 53, 161) inhaltlich äquivalent sind. Der Freiheitssatz wird benutzt, um folgendes Problem, das “Wurzelproblem”, in Angriff zu nehmen: Es sind alle Relationen zu finden, die zur Folge haben, daß ein vorgegebener Ausdruck in den Erzeugenden zur Einheit wird; diese Relationen werden die Wurzeln des gegebenen Elements genannt. Aus dem Freiheitssatz fließt nun: daß Wurzeln einer Erzeugenden nur ihre Transformierten und die Transformierten ihrer Reziproken sind; daß Wurzeln eines Kommutatorelementes von zwei Erzeugenden nur seine Transformierten, die Transformierten seiner Reziproken und die primitiven Elemente aus den zwei Erzeugenden sind; die Lösung des Wurzelproblems für einige weitere spezielle Fälle. Die in der Arbeit benutzte Methode beruht zu einem wesentlichen Teil darauf, daß sich Transformierte einer Erzeugenden, deren Unabhängigkeit nachgewiesen wird, als neue Erzeugende einführen lassen; dadurch lassen sich Aussagen über Elemente in der Faktorgruppe der Kommutatorgruppe verschärfen. Wenn dieses Verfahren nicht unmittelbar brauchbar ist, so wird die vorgelegte Gruppe in eine andere eingebettet, in der das Verfahren sich dann anwenden läßt.

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Full Text: DOI Crelle EuDML