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Semi-serial order. (English) JFM 56.0049.03
Verf. axiomatisiert einen neuen Klassenkalkül mit sogenannter “Halbordnung” (“semi-serial order”). Es wird für Elemente der Klasse eine dyadische Relation \(\leqq\) gefordert, die folgenden fünf Axiomen genügt:
(I) \(a\leqq a\) für jedes Element der Klasse. (II) Ist \(a\leqq b\) und \(b\leqq a\), so ist \(a = b\). (III) Ist \(a\leqq b\) und \(b\leqq c\), so ist \(a\leqq c\). (IV) Ist \(a\neq b\) und weder \(a\leqq b\) noch \(b\leqq a\), so gibt es ein Element \(m\) mit folgenden zwei Eigenschaften: (1) \(m\leqq a\) und \(m \leqq b\); (2) wenn \(x \leqq a\) und \(x\leqq b\) für ein Element \(x\neq m\) gilt, so muß \(x\leqq m\) sein. (V) Ist a \(\neq b\) und weder \(a\leqq b\) noch \(b\leqq a\), so gibt es ein Element \(n\) mit folgenden zwei Eigenschaften: (1) \(a\leqq n\) und \(b\leqq n\); (2) wenn \(a\leqq y\) und \(b\leqq y\) für ein Element \(y\neq n\) gilt, so muß \(n\leqq y\) sein.
Aus diesen Axiomen ergeben sich die aus dem Aussagenkalkül bekannten Sätze, wenn man noch die dort üblichen Funktionen \(a\land b\) (Aussage \(a\) ist richtig und Aussage \(b\) ist richtig) sowie \(a\lor b\) (von den beiden Aussagen \(a\), \(b\) ist mindestens eine richtig) für den hier gegebenen Klassenkalkül passend definiert; z. B: Ist \(a\leqq y\) und \(b\leqq y\), so gilt \((a\lor b) \leqq y\). Werden den Axiomen (I)-(V) noch die Axiome (VI)-(VIII) des “Anfangs”-, “End”- und des “primitiven” Elements hinzugefügt, so ergeben sich weitere Folgerungen.
Zum Schluß werden zahlreiche dem System genügende Substrate angegeben. In der Anwendung auf den Klassenkalkül entspricht dem Zeichen \(a\leqq y\) speziell \(a\to y\) (aus \(a\) folgt \(y\)). Dem Aussagenkalkül entspricht Beispiel (4), die Unterklassen einer gegebenen Klasse, wobei \(\leqq\) als Enthaltensein gedeutet werden.
Folgende Druckfehler sind zu verbessern: p. 420, Cor. (1): \(a\land b=b\land a\) statt \(a \land b= b \land c\); Def. (3): “If \(b\leqq a\), the element \(a\lor b\) is defined as \(a\)” statt “as \(b\)”.

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