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Über ein spezielles Dreizentrenproblem. (Finnish) JFM 55.1099.02
Acta Soc. sc. Fennicae (2) A, 1, Nr. 8, 182 S. (1929).
Verf. behandelt folgendes spezielle Dreizentrenproblem: Zwischen zwei Newtonschen. Zentren, und zwar im Halbierungspunkt der Verbindungslinie, befindet sich ein drittes Zentrum, das der Sitz einer entfernungsproportionalen Kraft ist. Alle drei Zentren sollen in ihrer Wirkung sowohl für anziehende wie für abstoßende Kraft untersucht werden. Die Anzahl der Kombinationen ist also sechs, sowohl für die Bewegung in der Ebene wie im Raum, wenn man im Falle zweier Newtonscher Zentren verschiedener Art davon absieht, welches das stärkere ist. Als ein Grenzfall, der vom Verf. noch nicht behandelt wurde, ergibt sich schließlich das Zweizentrenproblem mit einer Newtonschen und einer entfernungsproportionalen Kraft mit vier verschiedenen Kombinationen.
Verf. führt zunächst elliptische Koordinaten \(\lambda\), \(\mu\) ein. Die Brennpunkte der konfokalen Ellipsen und Hyperbeln sind die beiden Newtonschen Zentren. Das Zentrum der entfernungsproportionalen Kraft ist somit Mittelpunkt des Koordinatensystems.
Mit Hilfe des Ausdrucks für die Kräftefunktion \[ U=\frac{m_1}{r_1}+\frac{m_2}{r_2}-\frac12kr^2= \frac{m_1}{\lambda+\mu}+\frac{m_2}{\lambda-\mu}-\frac12k(\lambda^2+\mu^2-c^2) \] (wo \(2c\) der Abstand der Brennpunkte ist) bildet Verf. die Hamiltonsche Funktion und erhält schließlich aus dem vollständigen Differential der Hamilton-Jacobischen Differentialgleichung die Integralgleichungen für die Bewegung eines Massenpunktes unter dem Einfluß der drei Zentren in der Form: \[ \begin{aligned} &\pm\int\limits_\lambda\frac{d\lambda}{\sqrt{R(\lambda)}} \pm\int\limits_\mu\frac{d\mu}{\sqrt{S(\mu)}}=\beta,\\ &\pm\int\limits_\lambda\frac{c^2\gamma d\lambda}{(\lambda^2-c^2)\sqrt{R(\lambda)}} \pm\int\limits_\mu\frac{c^2\gamma d\mu}{(\mu^2-c^2)\sqrt{S(\mu)}}=w-\beta',\\ &\pm\int\limits_\lambda\frac{\lambda^2d\lambda}{\sqrt{R(\lambda)}} \pm\int\limits_\mu\frac{\mu^2d\mu}{\sqrt{S(\mu)}}=t-\tau. \end{aligned} \] Die erste dieser Gleichungen ist die Bahngleichung des Massenpunktes in der – im Falle räumlicher Bewegung sich um die Achse der Zentren drehenden -\(\lambda\)-\(\mu\)-Ebene. Das \(\gamma\) der zweiten Gleichung bedeutet die doppelte Flächengeschwindigkeit in einer zur Achse der Zentren senkrechten Ebene. Die dritte Gleichung gibt die Lage des Massenpunktes in seiner Bahn. Da \(R(\lambda)\) und \(S(\mu)\) im vorliegenden Falle ganze Funktionen vom sechsten Grade sind, so sind die auftretenden Integrale hyperelliptisch. Da für diese keine Tafeln existieren, so werden sie vom Verf. für die am Ende der Arbeit durchgeführte spezielle Diskussion und zeichnerische Darstellung einiger ausgewählter Bahnen verschiedenen Bahntypus für vorgegebene Werte der Konstanten graphisch mit Hilfe des Planimeters ausgewertet.
Für jede der sechs Kombinationen anziehender und abstoßender Zentren werden im Folgenden die Niveaukurven der Kräftefunktion in der \(\lambda\)-\(\mu\)-Ebene, aus deren Rotation um die Achse der Zentren die Niveauflächen des räumlichen Falles entstehen, ausführlich diskutiert. In vielen Beispielen wird das Bild des Potentialfeldes zeichnerisch dargestellt. Die Differentialgleichung der Kraftlinien wird gebildet. Sie läßt sich jedoch nicht mehr allgemein integrieren.
Die Ableitungen der Kräftefunktionen \(U\) dienen der Bestimmung der Gleichgewichtslagen. Im allgemeinen sind nur auf der Achse der Zentren Gleichgewichtslagen zu finden. Für zwei anziehende Newtonsche Zentren und eine abstoßende entfernungsproportionale Kraft, sowie für zwei abstoßende Newtonsche Zentren und eine anziehende entfernungsproportionale Kraft können in der \(\lambda\)-\(\mu\)-Ebene noch zwei symmetrisch zur Achse liegende Gleichgewichtspunkte auftreten, die im räumlichen Falle natürlich in Gleichgewichtskreise um die Achse übergehen. Im ersten Falle bezeichnen die Symmetriepunkte je eine labile Gleichgewichtslage in der \(\lambda\)-\(\mu\)-Ebene, im zweiten Falle eine stabile. Das Gleichgewicht senkrecht zur \(\lambda\)-\(\mu\)-Ebene ist in diesen Punkten natürlich indifferent.
Weiter werden für jeden der sechs Fälle die möglichen Bewegungsgebiete des Massenpunktes für alle Werte der Energiekonstanten \(h\) unter verschiedenen Annahmen über das Größenverhältnis der Proportionalitätsfaktoren der anziehenden bzw. abstoßenden Kräfte untersucht. Der ordnende Gesichtspunkt für die eingehende Diskussion der Bahnformen ist die Beschaffenheit der Wurzeln \(\lambda_k\), \(\mu_i\) der sogenannten intermediären Integrale \[ (\lambda^2-\mu^2)\cdot\frac{d\lambda}{dt}=\pm\sqrt{R(\lambda)} \text{ und } (\lambda^2-\mu^2)\cdot\frac{d\mu}{dt}=\pm\sqrt{S(\mu)}. \] Die durch die Wurzelwerte bestimmten Ellipsen und Hyperbeln begrenzen ja die jeweilige Bahnkurve eines Massenpunktes, da mit \(\lambda=\lambda_k\) bzw. \(\mu=\mu_i\) gleichzeitig \(\dfrac{d\lambda}{dt}\) bzw. \(\dfrac{d\mu}{dt}\) gleich Null werden. Die so bestimmten Gebiete werden natürlich im allgemeinen von der Bahn des Massenpunktes vollständig ausgefüllt, d. h. die Bahn kommt jedem Punkte des Gebietes beliebig nahe. Auszunehmen sind hierbei die periodischen und die für mehrfache Wurzeln der intermediären Integrale auftretenden Limitationsbewegungen. Die hohe Zahl der Kombinationsmöglichkeiten der \(\lambda\)- und \(\mu\)-Wurzeln bedingt eine außerordentlich große Mannigfaltigkeit verschiedener Bahngebiete und Bahnformen, unter denen u. a. die schon für das Zweizentren-Problem charakteristischen Typen der Planeten-, Satelliten- und Lemniskatenbewegung auftreten, die im einzelnen anzuführen jedoch im Rahmen dieses Referates nicht möglich ist. (VIII 2 B.)