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Über einen Satz in Riemannschen Räumen. (German) JFM 55.1040.01
In einem Riemannschen Raum \(V_n\) ist eine \(l\)-dimensionale Fläche \(F_l\) gegeben. Für einen Punkt \(P\) von \(F_l\) wird unter \(I_1\) der Tangentialräum, unter \(I_{12}\) der von den Riccischen Ableitungen der Tangentenvektoren in bezug auf den Maßtensor ausgespannte Raum, allgemein unter \(I_{12\ldots h}\) der von den Riccischen Ableitungen der Vektoren von \(I_{12\ldots h-1}\) ausgespannte Raum verstanden; der größte in \(I_{12\ldots h}\) enthaltene und auf \(I_{12\ldots h-1}\) normale Raum heißt \(I_h\). Dann wird bewiesen: Gibt es für jeden Punkt und für jede Orientierung eine \(F_l\) im \(V_n\) (\(l > 1\)), für welche der \(I_3\equiv 0\) ist, dann ist \(V_n\) ein Raum von konstanter Riemannscher Krümmung, wenn die Dimension von \(I_{12}\) kleiner als \(n\) ist.
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References:
[1] Mit einer positiv definiten Maßform.
[2] Es gibt im ganzen höchstens l+( 2 l+1 ) linear unabhängige Vektoren desJ 123 Raumes.
[3] Ist schonJ 2, dann gibt es durch jeden Punkt, für jede Orientierung desV n eine EbeneE l. Für diesen Fall wurde der Satz schon vorher von verschiedenen Autoren bewiesen. Unter anderen von I. Blumenfeld und W. Mayer: Über die Existenz Ebenster in Riemannschen Räumen. Monatshefte für Math. u. Physik, Bd. XXXII, und C. Burstin: Beiträge zur mehrdimensionalen Differentialgeometrie: Ebenda, Band XXXVI (II. Nachtrag).
[4] Siehe C. Burstin, Beiträgen zurn-dimensionalen Differentialgeometrie. Monatshefte für Math. u. Physik, Band XXXVI, II. Nachtrag.
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