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Beiträge zur mehrdimensionalen Differentialgeometrie. (German) JFM 55.1039.01
Zweiter Teil einer gemeinsam von Burstin und W. Mayer verfaßten Arbeit. Der erste von Mayer ausgearbeitete Teil wurde F. d. M. 54, 794 (JFM 54.0794.*) besprochen.
Als \(I_2\)-Raum einer \(l\)-dimensionalen Hyperfläche \(F_l\) im euklidischen \(R_n\) werde der lineare Vektorraum aller derjenigen zur Tangentenhyperebene senkrechten Vektoren bezeichnet, die enthalten sind in dem die \(F_l\) in zweiter Ordnung oskulierenden ebenen Raum. Es wird der Satz bewiesen: Eine \(F_l\) im \(R_n\), deren Krümmungstensor verschwindet, und deren \(I_2\)-Raum eindimensional ist, entsteht notwendig aus einer \(r\)-dimensionalen Hypertorse (\(r\leqq l\)) durch Dimensionsvergrößerung vermittels fortgesetzter Kegel- bzw. Zylinderbildung, bis die Dimensionszahl \(l\) erreicht ist. Beide Eigenschaften sind für die besagten speziellen \(F_l\) kennzeichnend. An einem Beispiel wird gezeigt, daß die zweite Eigenschaft der Eindimensionalität des \(I_2\) bei der Kennzeichnung nicht entbehrt werden kann. Ähnliche Sätze wie der obige werden für \(F_l\) im nichteuklidischen \(S_n\) abgeleitet. Im Schlußabschnitt wird bewiesen: Kennzeichnend für diejenigen Riemannschen Räume \(V_n\), in denen bei gegebener Parallelverschiebung und für ein gegebenes Koordinatensystem der Maßtensor \(g_{ik}\) nicht eindeutig bestimmt ist, ist die Existenz von invarianten, in bezug auf die Parallelverschiebung integrablen Vektorräumen. Die verschiedenen \(g_{ik}\) gehen in einem solchen Falle aber durch Koordinatentransformation auseinander hervor. Ein Anhang beschäftigt sich mit der Lösung des Formenproblems einer \(F_l\) im \(S_n\).

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References:
[1] Kanonische Darstellung des TensorsB pq vom Range 1.
[2] Allgemein stellt dann jede Gleichungx i=A ik t k+B i (k=1,2, ...l),A ik,B i konstant einel-dimensionale HyperebeneE l imS n dar.
[3] Ähnliche Probleme behandelt L. P. Einsenhart: Non-Riemannien Geometry im III. Kapitel.
[4] Für die Ausdrücke \(\frac{{\partial ^k x_i }}{{\partial y_{r_1 } \partial y_{r_2 } ...\partial y_{r_k } }}\) gilt dasselbe wie fürd k x i.
[5] d. h. durch die Vektoren desJ 12 ...k Raumes.
[6] Siehe: Über das vollständige Formensystem derFe imR n von W. Mayer in Wien, Monatshefte für Math. und Physik, XXXV, Abschnitt II, § 2.
[7] Siehe Formenproblem, I. Kap, § 3, II, Kap., § 4.
[8] Siehe Formenproblem, I. Kap., § 12, II. Kap., § 4.
[9] Siehe Formenproblem, I. Kap., § 3, II. Kap., § 4.
[10] Siehe Formenproblem, I. Kap., § 11, Formel (9).
[11] Der Tensora ik kann in diesem Falle als ein Maßtensor und als Koppelungstensor imV n verwendet werden.
[12] D. h. es gibt einena ik, wobeia ik\(\Delta\)C gik (C konstant), für welchen (123”) gilt. Die VektorräumeW h stehen dann zu je zweien aufeinander senkrecht.
[13] Wir werden die Indizes, welche die Reihe. l1+l2+...+lh+1,l1+l2+...+lh+2...l1+l2+...+lh+lh durchlaufen, mit \(\alpha\)h,...ph,...qh... bezeichnen.
[14] Aus (134’) folgt, daß in (137) über die Indizesj desW h Raumes nicht summiert wird.
[15] C. Burstin und W. Mayer: Das Formenproblem, I, Kap., § 3, II. Kap., § 4.
[16] C. Burstin und W. Mayer: Das Formenproblem, I. Kap., § 3.
[17] C. Burstin und W. Mayer: Das Formenproblem, I. Kap., § 3.
[18] Wobei (\(\alpha\))Ap 1 p 2...p k eine bestimmte Lösung des Systems (152) ist.
[19] Formenproblem, I. Kap., § 13, II. Kap., § 5.
[20] Die Sätze I, II des II. Abschnitt, § 1, der Arbeit ”Über das vollständige Formensystem derF l imR n” in Monatsheften für Math. und Physik, Bd. XXX, lassen sich für dieF l imS n auf dieselbe Weise beweisen. Berichtigung: Der Satz II (II. Abschnitt, § 1) der obengenannten Arbeit soll lauten: ”Lassen sich zweiF l so zuordnen, daß die entsprechenden Kurven gleiche Längen und gleiche Krümmungen bis zurh ten haben, so sind ihreh ersten Formen gleich, z. B. sind zweiF 2 imR 3 kongruent, wenn sie sich punktweise so zuordnen lassen, daß die entsprechenden Kurven gleiche Längen und gleiche erste Krümmung besitzen.” Der Beweis dieses Satzes stützt sich wesentlich auf die Voraussetzung Formel [(13), (14)], daß entsprechende Kurven gleiche Längen besitzen.
[21] Formenproblem, I. Kap., § 14.
[22] DieE n enthält dauernd jeden Vektor derE n, der aus einer in derE n enthaltenen Anfangslage durch Parallelverschiebung längs beliebiger Kurven derE n hervorgeht.
[23] wobeiF(u, v) ist, dav i,w i voneinander linear unabhängig sind.
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