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Untersuchungen zur Topologie der geschlossenen zweiseitigen Flächen. II. (German) JFM 55.0971.01
In dieser inhaltsreichen und höchst interessanten Abhandlung werden ebenso wie in ihrem ersten Teil (1927; F. d. M. 53, 545-546; im folgenden als I. zitiert) einerseits gruppentheoretische, andrerseits topologische Eigenschaften, insbesondere die Klasseneinteilung der Fixpunkte (s. I.) einer topologischen Abbildung \(\tau\) einer geschlossenen orientierbaren Fläche \(\varphi\) vom Geschlecht \(p\geqq 2\) auf sich, untersucht. \(\tau\) bewirkt topologische Transformationen \(t\) der in üblicher Weise als Inneres des Einheitskreises \(E\) gedeuteten universellen Überlagerungsfläche \(\varPhi\) von \(\varphi\). Jeder Decktransformation \(f\) ist durch die Funktionalgleichung \(tf=f_It\) eine Decktransformation \(f_I\) zugeordnet, und diese Zuordnung ist ein Automorphismus \(I\) der Fundamentalgruppe. Die durch \(f_I=f\) erklärten Fixelemente von \(I\) bilden eine Gruppe \(H\); auf die Untersuchung von \(H\) kommt es, wie gezeigt wird, in erster Linie an. Sie ist immer eine von \(\nu\) Elementen erzeugte freie Gruppe mit \(0\leqq\nu\leqq 2p-1\), wobei jedes der beiden Gleichheitszeichen wirklich auftreten kann. Sie kann als Gruppe der Decktransformationen eines gewissen ausgezeichneten Teilbereiches von \(\varphi\) gedeutet werden.
In I. war gezeigt worden, daß sich \(t\) auf die Kreislinie \(E\) selbst erweitern läßt, und daß \(tE\) für die Abbildungsklasse von \(\tau\) charakteristisch ist. Jetzt wird der Index \(i\) jeder einzelnen Fixpunktklasse (vgl. I.) durch \(\nu\) und eine durch \(tE\) in einfacher geometrischer Weise gegebene Anzahl \(\mu\) ausgedrückt; eine Folgerung ist die Abschätzung \(3-4p\leqq i\leqq 1\). Weiter wird gezeigt, daß man \(i\) erhalten kann durch Anwendung der Birkhoffschen Fixpunktformel (die die Indexsumme der Fixpunkte bei einer Deformation einer Fläche durch deren Charakteristik ausdrückt), wenn man diese Formel auf eine Hilfsfläche anwendet.
Durch Betrachtung nicht nur einer einzigen Transformation \(t\), sondern der Familie aller Abbildungen \(t\), die \(\tau\) überlagern, gelangt man sowohl zur Lösung des Fixpunktproblems für eine große Menge von Abbildungsklassen als auch zu gruppentheoretischen Sätzen. Topologisch besonders interessant sind die Schlüsse, die für die Anzahl der “wesentlichen” Fixpunktklassen, also auch für die Mindestzahl der voneinander verschiedenen Fixpunkte in der Abbildungsklasse von \(\tau\), gezogen werden: Diese Zahlen können durch die “algebraische” Fixpunktzahl von \(\tau\) nach unten abgeschätzt werden, also durch die Indexsumme sämtlicher Fixpunkte, die nach der Alexander-Lefschetzschen Fixpunktformel durch den Homologiecharakter von \(\tau\) bestimmt ist.

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References:
[1] Untersuchungen zur Topologie der geschlossenen zweiseitigen Flächen, Acta mathematica Bd. 50, S. 189–358. Hinweise auf diese Arbeit werden im Folgenden mit I und der betreffenden Paragraphenzahl oder Seitenzahl angegeben. · JFM 53.0545.12
[2] Nach brieflicher Mitteilung von HerrnKneser.
[3] Die Bedeutung dieser Tatsache hat auch HerrH. Hopf mir gegenüber hervorgehoben.
[4] D. h. von der Identität verschiedene.
[5] Siehe Satz. 12.
[6] M. Dehn undP. Heegaard, Analysis situs. Math. Enzykl. III, i, i, S. 200. In der Formel unten auf S. 198 istr statt 2r zu lesen. Durch Aufschneiden längs eines Querschnitts wirdK um i kleiner. · JFM 38.0510.14
[7] Ich benutze die Gelegenheit, um richtigzustellen, dass auf S. 342 und in dem ersten Abschnitt auf S. 343 von I statts überalla 1 s zu lesen ist.
[8] In der letzten Zeile auf S. 343 istV (a 1 n) zu lesen.
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