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On a quadrature formula for trigonometric integrals. (English) JFM 55.0946.02
Es handelt sich um eine Quadraturformel für Integrale der Form \[ \int\limits_a^b \sin kx \psi (x)\, dx \] bei großen Werten von \(k\), wo die Simpsonsche Formel eine allzu feine Unterteilung des Integrationsintervalles erfordern würde. Das Intervall wird in eine gerade Anzahl \(2n \) von Teilen der Länge \(h\) zerlegt: \[ x_r = a + rh\qquad (r = 0,\,1,\,\ldots,\, 2n). \] Verf. setzt nun voraus, daß im Intervall \((x_{r-1}, x_{r+1})\) die Funktion \(\psi(x)\) mit ausreichender Genauigkeit durch ein quadratisches Polynom \[ \begin{gathered} A + B (x- x_r) + (Cx-x_r)^2, \\ A = \psi_r,\quad B =\frac1{2h}(\psi_{r+1} - \psi_{r-1}),\quad C = \frac1{2h^2}(\psi_{r+1} +\psi_{r-1}-2\psi_r), \end{gathered} \] mit \(\psi_r = \psi (x_r)\) approximiert werden könne. Partielle Integration der \[ \int\limits_{x_{2r-2}}^{x_{2r}} \sin kx \psi (x)\, dx\qquad (r =1,\,2,\,\ldots,\, n) \] unter Ersetzung von \(\psi (x)\) durch das Näherungspolynom und Summation nach \(r\) führt zu der Formel \[ \int\limits_a^b \sin kx\psi(x)\, dx = h [\alpha \{\psi (a) \cos ka - \psi (b) \cos kb\} + \beta S_{2r} + \gamma S_{2r-1}], \] in der \[ \begin{aligned} \alpha &= \frac1\vartheta + \frac1{\vartheta^2} \cos \vartheta \sin \vartheta \frac2{\vartheta^3}\sin^2 \vartheta,\\ \beta &=2 \left[\frac1{\vartheta^2}(1+\cos^2\vartheta)\frac2{\vartheta^3}\sin\vartheta\cos\vartheta\right], \\ \gamma &= 4 \left[\frac1{\vartheta^3}\sin\vartheta-\frac1{\vartheta^2}\cos \vartheta\right] \end{aligned} \] mit \(\vartheta = hk\) ist; der aus den Ordinaten der Teilpunkte mit geraden Indices gebildete Ausdruck \[ 2S_{2r} = 2 \sum_{r=0}^n \psi(x_{2r}) \sin kx_{2r} - \psi (a) \sin ka - \psi (b) \sin kb \] tritt auch in der Simpsonschen Formel auf, und \(S_{2r-1}\) bedeutet die Summen der Ordinaten der Teilpunkte mit ungeraden Indices: \[ S_{2r-1} = \sum_{r=1}^n\psi(x_{2r-1}) \sin kx_{2r-1}. \] Bei kleinem \(k\), d. h. \(\vartheta\to 0\), geht die Formel in die Simpsonsche über.
In einer Tabelle sind Werte von \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) in Abhängigkeit von \(\vartheta\) zusammengestellt.
Verf. wendet dann seine Formel speziell auf Integrale der Form \[ \int\limits_0^\infty \sin kx \frac{\varphi(x)}x\, dx \] an, wobei \(\varphi(0)\not= 0\) sein soll. Schließlich wird die Regel auf Integrale der Form \[ \int\limits_a^b\psi (x) \sin (kx +\varepsilon)\, dx \] ausgedehnt, die für \(\varepsilon = \dfrac\pi2\) insbesondere zu \[ \int\limits_a^b \psi (x) \cos kx\,dx \] führen.
Zur Untersuchung über die Güte der Approximation wird der Unterschied zwischen den Näherungsintegralen über die Intervalle \((x_{r-1},x_{r+1})\) und den entsprechenden Integralen bei nochmaliger Halbierung der Intervalle ausgenutzt.

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