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Automorphic functions. (English) JFM 55.0810.04
VII + 333 p. New York, McGraw-Hill (1929).
Kapitel l behandelt die einzelnen linearen Transformationen. Gegenüber der wohl noch meist üblichen Behandlung ist hier die Verwendung des isometrischen Kreises hervorzuheben. Es ist derjenige Kreis, auf dem der Abbildungsmodul der linearen Funktion Eins ist. Kapitel 2 behandelt die Gruppen linearer Funktionen. Ein Fundamentalbereich einer eigentlich diskontinuierlichen Gruppe wird dabei von der Menge derjenigen Punkte gebildet, die im Äußeren aller isometrischen Kreise liegen. Bei Gruppen, deren Existenzbereich ganz im Endlichen liegt, kann derselbe als derjenige unter allen Fundamentalbereichen charakterisiert werden, dessen euklidischer Inhalt ein Maximum ist. Kap. 3 behandelt den Sonderfall der Fuchsschen Gruppen. Kap. 4 setzt voraus, daß der Fundamentalbereich endlich viele Seiten hat. Dann lassen sich alle automorphen Funktionen ohne wesentliche Singularitäten als rationale Funktionen von zwei derselben darstellen. Kap. 5 beweist mit Hilfe der Poincaréschen Thetareihen die Existenz von automorphen Funktionen bei jeder eigentlich diskontinuierlichen Gruppe linearer Funktionen. Kap. 6 behandelt ausführlich die automorphen Funktionen bei endlichen Gruppen und bei Gruppen mit ein oder zwei singulären Punkten. Kap. 7 gilt der elliptischen Modulfunktion. Kap. 8 gibt eine Darstellung der modernen Theorie der konformen Abbildung. Kap. 9 gibt die Anwendung auf den Beweis des Hauptsatzes der Uniformisierungstheorie. Kap. 10 gibt die Uniformisierung vom Schottkyschen Typus. Kap. 11 gilt der Theorie der linearen Differentialgleichungen, wobei die hypergeometrische Differentialgleichung und die Schwarzschen Dreiecksfunktionen eingehend behandelt werden. (IV 5, 6 D.)
Besprechung: J. F. Ritt; Bulletin A. M. S. 36 (1930), 35.