The minima of indefinite quaternary quadratic forms. (English) JFM 55.0722.01

Oppenheim, A.

Proceedings USA Academy 15, 724-727 (1929).

Verf. beweist: \[ f=\textstyle \sum\limits_{i,k=1}^{4} \displaystyle a_{ik}x_ix_k \] sei eine indefinite quadratische Form der Signatur Null mit reellen Koeffizienten und der Determinante \(|\,a_{ik}\,|=a>0\). Für das (von Null verschiedene) Minimum \(L\) von \(|\,f\,|\) für ganzzahlige Werte der \(x_i\) gilt dann \[ L^4\leqq \frac{4}{9}a. \] Das Gleichheitszeichen gilt für die zu \[ f_1=L(x_1^2-x_2^2-x_3^2+x_4^2+2x_1x_3+2x_1x_2+ x_1x_4+x_2x_4+x_3x_4) \] äquivalenten Formen; in jedem anderen Fall gilt \[ L^8\leqq \frac{16}{135}a^2. \]
In dem zu Anfang der Note formulierten Satz gibt Verf. statt der letzten Ungleichung die schärfere \[ L^4\leqq \frac{4}{15}a \] an; ferner wird das Ergebnis einer entsprechenden Untersuchung für Formen der Signatur \(\pm2\) formuliert. (Ref. hat nicht feststellen können, ob diese Resultate des Verf. mit ausführlichen Beweisen veröffentlicht worden sind.)

Reviewer: Pannwitz, Dr. Erika (Berlin)