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Gruppentheorie und Quantenmechanik. (German) JFM 54.0954.03
Leipzig: S. Hirzel. viii, 288 S. (1928).
Schon das Vorwort enthält einen schönen Gedanken. Die quantenmechanische Orientierung der Physik entspreche der „algebraischen“ Neuordnung der Mathematik; hier wie dort wird das universelle Kontinuum der reellen und komplexen Zahlen zugunsten eines, einem jeden besonderen Sachgebiet angepaßten, individuellen Größen- und Zahlenbereichs zurückgedrängt. Die Mathematik der „Funktionentheorie“ folgte dem indisch-arabischen Zahlbegriff; die „abstrakte Algebra“ sei eine Rechtfertigung des griechischen Zahlbegriffs. Diese Kennzeichnung der griechischen Auffassung vom Wesen der „Zahl“ ist durchaus zutreffend; nur muß man es dahingestellt sein lassen, ob nicht auch bei den Griechen dieser „tiefere“ Begriff der Zahl durch eine gewisse Entwicklung von einem „naiveren“ (mehr „universellen“) her erreicht wurde, welche der Entwicklung der damaligen „Physik“ (Naturphilosophie und Ontologie) parallel verlief.
Man kann im Ideengehalt der Quantenmechanik (bei Entstehung des Buches) etwa vier Schichten unterscheiden: (1) Die Heisenbergsche Darstellung der physikalischen Größen eines Systems durch Matrizen in einem passenden Systemraum, dazu der Paulische Ansatz des Spins als zweidimensionaler Matrix; (2) die de Broglie-Schrödingerschen Wellen; (3) die statistische Auffassung von Born, Jordan, Dirac, von Neumann, dazu die Diracsche Wechselbeziehung zwischen Atom und Strahlungsfeld und (4) die gruppentheoretische Behandlung der Symmetrien in einem System gleichartiger Teilchen (nach Wigner, Heitler und London) unter Zugrundelegung des Pauli-Verbots. Es ist ein hervorstechender Zug des Buches, daß diese verschiedenen Schichten mathematisch stark vereinheitlicht werden, und daß insbesondere die Schichten (4) und (1) nahezu verschmolzen werden. Die Behandlung des Problems (4) beruht auf der Theorie der Darstellungen der kontinuierlichen Gruppe \({\mathfrak C}_n\) (Gruppe aller komplexzahligen linearen Transformation in \(n\) Dimensionen) und der endlichen Gruppe \(\pi_f\) (Permutationsgruppe in \(f\) Elementen) durch beliebig-dimensionale irreduzible lineare Transformationen. Die Verkoppelung mit (1) geschieht durch die Forderung, daß die Hermiteschen Formen \(Q\) im Systemraum, welche die sämtlichen möglichen physikalischen Größen an einem vorgegebenen Gebilde repräsentieren, eine irreduzible Gesamtheit \(\Sigma\) bilden. “Wäre \(\Sigma\) reduzibel, so könnte man durch geeignete Zerlegung des Systemraums bewirken, daß alle \(Q\) simultan zerfallen. Die einzelnen Teile bildeten dann für sich je eine Lösung des Quantenproblems, die in der vorgelegten Lösung rein zufällig miteinander vereinegt sind. Einen solchen Luxus wird sich die Natur nicht leisten.” Führt man kanonische Variable ein, so genügt bereits die „Forderung, daß die \(2f\) Matrizen \(q_0,\ldots,q_f;p_1,\ldots,p_f\) nicht simultan durch Einführung geeigneter Koordinaten im Systemraum zum Zerfall sollen gebracht werden können. Dies Postulat ist als ein wesentlicher Zusatz den Heisenbergschen Vertauschungsralationen hinzuzufügen“. Ein ganz vom Verf. stammendes Nebenergebnis dieser Auffassung ist die Deutung der Quantenkinematik als Abelscher Drehungsgruppe (§ 45). Diese Deutung ist mehr spekulativer Natur, immerhin ergibt sie eine mathematische Motivierung für die von Schrödinger stammende Überbrückung seiner Wellenfunktionen und der Heisenbergschen Matrizen durch die Zuordnung
\[ q:\delta \psi(q)=q \cdot \psi(q),\;p:\delta \psi(q)=\frac 1i \frac{d \psi}{dq}. \]
Das Buch zerfällt in fünf Kapitel: I. Unitäre Geometrie, II. Quantentheorie. III. Gruppen und ihre Darstellungen, IV. Anwendungen der Gruppentheorie auf die Quantenmechanik, V. Darstellungen der symmetrischen Permutationsgruppe und der unitären Gruppe.
Kap. I ist lineare Algebra der Vektoren und „Strahlen“. Die Strahlen sind allgemeiner als Vektoren, nämlich gegen unitäre Transformationen invariant. Die einzelnen Zustände eines physikalischen Gebildes werden durch Strahlen im Systemraum repräsentiert (nicht die Wellenfunktion \(\psi\) selber, sondern \(\psi \overline{\psi}\) ist physikalisch deutbar).
Der Bericht in Kap. II ist sehr elegant. Besonders hübsch ist die Darstellung der Kugelfunktionen in § 11, der Unbestimmtheitsrelation in § 14, des Mehrkörperproblems in § 17 („ist der Zustand von \(a\) und \(b\) bekannt, so ist damit der Zustand von \(\mathfrak c = a \times b\) noch nicht bekannt“) und der Diracschen Wechselwirkung von Atom und Strahlungsfeld in § 20. Die letztere Theorie wird in Kap. IV § 44 fortgesetzt und mit außerordentlicher Klarheit auseinandergesetzt (scharfe Gegenüberstellung der „Methode der nochmaligen Quantisierung“ und der „Methode der Komposition“).
Kap. III bringt u. a. die Darstellung wichtiger spezieller Gruppen durch beliebige lineare Transformationen, die Theorie der Irreduzibilität von Gruppen, der Charaktere und der invarianten und kovarianten Größen.
Kap. IV bringt die Anwendungen hiervon in vier Abschnitten: A. Drehungsgruppe, B. Lorentzgruppe, C. Gruppe der Vertauschungen, D. Quantenkinematik. (A) enthält u. a. die Einführung des Impulsmoments und dessen Aufteilung auf Bahnimpuis und Spin, Auswahl- und Intensitätsregeln, das Landésche Gesetz für den Aufspaltungsfaktor und die allgemeine Multiplettstruktur. In (B) folgt die Diracsche Theorie des relativistischen Elektrons mit allen Folgerungen. Abschnitt (C) bringt den Aufbau des periodischen Systems. Aus der Stonerschen Regel wird die Pauli-Hypothese gefolgert, und mit deren gruppentheoretischer Formulierung in wenigen Zeilen (S. 192) nachgewiesen, daß die Atome schalenförmigen Aufbau haben. In Anschluß hieran wird die Termaufspaltung der Atome mit zwei losen Elektronen angegeben.
Nunmehr Kap. V: Ein beliebiger Systemraum \(\mathfrak R\) werde \(f\)-fach zusammengesetzt,
\[ \mathfrak R'=\mathfrak R \times \mathfrak R \times \cdots \times \mathfrak R, \]
und die Gesamtheit aller derjenigen Hermiteschen Formen in \(\mathfrak R'\) betrachtet, welche in bezug auf die Komponentenräume \(\mathfrak R\) symmetrisch sind. Diese Gesamtheit ist reduzibel. Ihre Reduktion folgt dem Zerfall von \(\mathfrak R'\) in gewisse Teilräume, und die Gesamtheit dieser Teilräume entspricht genau der Gesamtheit der irreduziblen Darstellungen von \(\pi_f\) durch lineare Transformationen. Das so entstehende gruppentheoretische Darstellungsproblem, zu dessen Lösung Verf. (schon zuvor) bedeutsame Beiträge geliefert hatte, wird ausführlich behandelt und von verschiedenen Seiten beleuchtet.
Die physikalische Anwendung besteht im folgenden: Ein physikalisches Gebilde \(\mathfrak J\) habe den Systemraum \(\mathfrak R\). Man setze \(f\) ununterscheidbare „Exemplare“ \(\mathfrak J\) zu einem Gebilde \(\mathfrak J'\), mit dem Systemraum \(\mathfrak R'\), zusammen. Die physikalischen Größen von \(\mathfrak J'\) werden durch Hermitesche Formen repräsentiert, welche die obige Symmetrie aufweisen. Nach der Irreduzibilitäts-Hypothese zerfällt also die Termmannigfaltigkeit von \(\mathfrak J'\) (gemäß der Darstellungen von \(\pi_j\)) in getrennte Termsysteme, zwischen denen keine Interkombination möglich ist. Wenn zwischen den \(f\) Exemplaren \(\mathfrak J\) Wechselwirkungen in der Gestalt einer kleinen Störung angesetzt werden müssen, so treten Termaufspaltungen auf, welche Verf., über Wigner und Heitler hinausgehend, rechnerisch angegeben hat. Die Hauptanwendung ist „die gruppentheoretische Ordnung des Linienspektrums, wenn das Atom eine beliebige Anzahl von Elektronen enthält, unter Berücksichtigung des Paulischen Prinzips und des Elektronenspin“ und die Molekülbildung. (III 2, III 5, IV 8.)

MSC:
81-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to quantum theory
81Rxx Groups and algebras in quantum theory
81Qxx General mathematical topics and methods in quantum theory
20B30 Symmetric groups
20C35 Applications of group representations to physics and other areas of science
22E43 Structure and representation of the Lorentz group